國三數學不等邊問題

Question

正三角形ABC的邊長4
Ｐ為其內部一點
若邊PA+PB+PC=K公分
求K的範圍???

下限大概了解怎麼求.
但上限為什麼是周長的２／３？？
那等腰三角形，一般三角形也是這樣算嗎？

Answer 1

下限大概了解怎麼求
這是費馬點的問題
比較困難吧!

上限並不是周長的2/3
而是三角形比較長的兩邊之和
只是正三角形每邊都一樣
才讓你誤會為周長的2/3

底下證明定理
在三角形ABC中
若AB>AC>BC
P為內部一點
則PA+PB+PC
先證明一個引理:
[引理一]
在三角形ABC中
若AB>AC
D為BC上一點
則AD [證明]
因為AB>AC
所以角C>角B
角ADB=角C+角DAB
角ADB>角C
於是在三角形ADB中
角ADB>角B
故AB>AD

由這個引理可以得到一個推論:
[推論二]
在三角形ABC中
若AB>AC>BC
D為BC上一點
則AB+AC>AD+BC
[證明]
由引理一知AB>AD...........(1)
由條件AC>BC...............(2)
(1)+(2)得 AB+AC>AD+BC

現在證明定理本身
過P作BC的平行線交AB於E且交AC於F
三角形ABC和三角形AEF相似
所以AE>AF>EF
由推論二知AE+AF>AP+EF..............(3)
在三角形PBE中PE+EB>PB..............(4)
在三角形PFC中PF+FC>PC...............(5)
(3)+(4)+(5)得
(AE+EB)+(AF+FC)+(PE+PF)>PA+EF+PB+PC
AB+AC+EF>PA+PB+PC+EF
AB+AC>PA+PB+PC

這個結果對任意三角形都適用

2007-01-13 17:57:45 補充：
ㄜ
沒看圖果然容易出錯
真抱歉
雖然不考
多瞭解一些可以幫忙思考