積分求體積

Question

例如：y=x^2，y=4x所圍成的面積
1.繞x轉一圈　　2.繞y轉一圈　　3.繞x=5轉一圈
利用圓盤法、層殼法求體積 該怎麼列算式
不求答案 只求算式
圓盤法是πr^2　　層殼法是2πr
我的問題來了，x^2　<　4x
若憑想像力繞y軸轉一圈，外面(x^2)繞出來的體積 會比(4x)繞出來的大
那我用圓盤法該怎麼表示，是不是該寫成∫[0,4]π[(x^2)^2-(4x)^2]dy
還是說在座標上就是要大的減小的
若用層殼法，那他的半徑該怎麼表示
我看到有些課本　　π(f(y)^2-g(y)^2)寫π(f(y)-g(y))^2 平方可以提出來嗎
我很疑惑，因為我想說如果可以提出來的話　例如：(2^2-1^2)=3
但是(2-1)^2=1　答案不一樣阿

π　　我明明打"兀" 變成這ㄍ亂碼
不好意思喔....那個是"拍"

∫ 這個是積分符號 也變的怪怪的 抱歉

Answer 1

1. 繞 x 轉一圈 ( 4x > x2; x in [0,4] )
圓盤法: π∫40 (y12 - y22) dx = π∫40 [(4x)2 - (x2)2] dx
層殼法: 2π∫160 [(4-x1)y1 - (4-x2)y2] dy = 2π∫160 [(4-y/4)y - (4-y1/2)y] dy
2048π/5
2. 繞 y 轉一圈 ( 4x < x2; y in [0,16] )
圓盤法: π∫160 (x12 - x22) dy = π∫160 [(y1/2)2 - (y/4)2] dy
層殼法: 2π∫40 [x1(4-y1) - x2(4-y2)] dx = 2π∫40 [x(4-x2) - x(4-4x)] dx
128π/3
3. 繞 x=5 轉一圈 ( 4x < x2; x in [0,4] )
圓盤法: π∫160 [(5-x1)2 - (5-x2)2) dy = π∫160 [(5-y/4)2 - (5-y1/2)2] dy
層殼法: 2π∫40 [(5-x1)y1 - (5-x2)y2] dx = 2π∫40 [(5-x)4x - (5-x)x2] dx
64π
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

繞y軸的題目，應該是要寫成y的函數吧~
繞x軸，看成是 y=4x 和 y=x^2 之間，用4x繞的-x^2繞
可是繞y軸的，該看成是
x=y/4 和 x=根號y , 這時 根號y 就比y/4大了，就要用
根號y - y/4

這邊的体 積都不要先二個圖形相減才平方，要當成是二個獨立的体積，各別求出後再相減。
先寫到這吧~@@