離散 x1 x2 x3 x4=12

Question

x1+x2+x3+x4=12

0<=x1<=4
0<=x2<=5
0<=x3<=8
0<=x4<=9

求整數解

Answer 1

此題應該是 {全部非負整數解} - {x1>4 或 x2>5 或 x3>8 或 x4>9 的整數解}
{全部非負整數解} 為 H(4,12) = C(4+12-1,12) = C(15,12) = 455
x1>4 或 x2>5 或 x3>8 或 x4>9 的整數解:
{x1>4 的整數解} + {x2>5 的整數解} + {x3>8 的整數解} + {x4>9 的整數解} - {x1>4 和 x2>5 的整數解}
(因為不可能有其他兩個同時大於的情況了)
{x1>4 的整數解}
設 y1=x1-5 則 y1+x2+x3+x4=x1-5+x2+x3+x4=12-5=7
此四數的非負整數解為 H(4,7) = C(10,7) = 120
同理
{x2>5 的整數解} 為 H(4,6) = C(9,6) = 84
{x3>8 的整數解} 為 H(4,3) = C(6,3) = 20
{x4>9 的整數解} 為 H(4,2) = C(5,2) = 10
{x1>4 和 x2>5 的整數解}
設 y1=x1-5, y2=x2-6 則 y1+y2+x3+x4=x1-5+x2-6+x3+x4=1
此四數的非負整數解為 H(4,1) = C(4,1) = 4
所以 全部是 455-{120+84+20+10-4} = 225
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.