直線與圓相切..求圓半徑

Question

3x-4y+6=0
x^2+y^2-6x+8y= k
請問k 怎求...
希望有詳細的一點解答..
不要直接蹦出答案..orz

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1607010503161.GIF

x^2+y^2-6x+8y= k → x^2-6x+9+y^2+8y+16= k+9+16
(x-3)^2+(y+4)^2=k+25，所以圓心座標(3,- 4)，半徑為根號(k+25)
圓心到切線距離會等於半徑，利用「點到直線距離公式」，
|3*3+(-4)*(-4)+6|/5=根號(k+25) → 31/5=根號(k+25)
→ (等號兩邊平方)961/25=k+25 → 961=25k+625 → 25k=336
k=336/25，圓方程式為(x-3)^2+(y+4)^2=961/25，圓心座標(3,- 4)，半徑為(31/5)

Answer 2

x^2+y^2-6x+8y= k
又(x^2-6x+9)+(y^2)+8-9=k
則(x-3)^2+y^2=k-1
3x-4y+6切x^2+y^2-6x+8y= k
圓心(3,0)到3x-4y+6=0為半徑
| ax+by+c |/根號(a^2+b^2)=根號(k+1)
k+1=9
k=8

Answer 3

x^2+y^2-6x+8y= k => (x-3)^2+(y+4)^2=k+3^2+4^2=k+25
So,圓心(3,-4)
圓心與切線垂直, so 過圓心與切點之直線為 4x+3y=a,
圓心(3,-4)帶入4x+3y=a => a=0.
4x+3y=0 和切線3x-4y+6=0之交點為切點. So x=-18/25, y=24/25
(-18/25,24/25)帶入x^2+y^2-6x+8y= k, k=336/25

Answer 4

先把x^2+y^2-6x+8y= k

變成圓的標準式

=>(x^2-6x+9)+(y^2)+8-9=k 註明:(x^2-6x+9)這邊+9 後面要減9

=>(x-3)^2+y^2=k-1

由於直線3x-4y+6切過圓x^2+y^2-6x+8y= k

所以圓的圓心(3,0)到直線3x-4y+6=0為半徑

帶點到直線的公式

| ax+by+c |/根號a^2+b^2=半徑 註明:| ax+by+c |帶直線的方程式x,y待

圓的圓心

| ax+by+c |/根號(a^2+b^2)=根號(k+1) 註明:根號(k+1)=半徑

得k+1=9 => k=8