證明30度-60度-90度三角形的三邊邊長比(15點)

Question

證明30度-60度-90度三角形的三邊邊長比為1:√3:2。
最近突然對於這個基本的問題想再重新證明一遍，
想看看網友們有些什麼絕招，
方法不限，古典幾何、座標幾何、狹義三角函數、廣義三角函數皆可，
但不要循環論證(例如用半角公式算出sin15度，再用兩倍角.....)，
也不要用國中教的「直角三角形外心是斜邊中點，外心到三頂點等距」那一招，
還有，前面有人用過的就別用了。
能畫圖是最好的。

工程師：
你怎麼知道sin(60) = 0.5 * sqrt(3)？

Answer 1

1.設三角形ABC為直角三角形
角A=30度、角B=60度、角C=90度
2.做角B的角平分線，交邊AC於D
可得到一直角三角形BDC(30度-60度-90度)
及一等腰三角形BDA(30度120度-30度)==>BD=DA
3.三角形ABC相似於三角形BDC(都是30度-60度-90度之直角三角形)
所以AC:BC=BC:DC
4.設BC=x、DC=y、BD=z=DA、所以AC=y+z
==>(y+z):x=x:y==>x²=y²+yz---(1)
又x²+y²=z²(畢氏定理)---(2)
(1)代入(2)
==>y²+yz+y²=z²
2y²+yz-z²=0
(2y-z)(y+z)=0
==>z=2y或z=-y(不合，因xyz都是正數)
z=2y代入(2)
==>x²+y²=4y²
==>x²=3y²
==>x=√3y或x=-√3y(不合，因xyz都是正數)
所以y:x:z=y:√3y:2y=

Answer 2

正弦定理: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

假設a為30度角的對邊 b為60度角的對邊 c為90度角的對邊

a/sin(30) = a/0.5
b/sin(60) = b/(0.5 * sqrt(3))
c/sin(90) = c/1

a/0.5 = b/(0.5 * sqrt(3)) = c/1

因此 b = sqrt(3) * a, c = 2 * a