高二數學，圓的方程

Question

與4x+3y+5=0垂直, 且與圓x2+y2-2x-6y=15相切的直線方程式為?
我的做法:
　圓:(x-1)2+(y-3)2=25, 圓心(1,3), 半徑r=5
　設此直線y-3=(-3/4)(x-1).　
算到此, 如果要用平移的方法去找另外一條直線, 該如何做?

如果有更好、更快的方法也可以提供, 謝謝,,,

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1007010308613.GIF


圓方程式、圓心、半徑都沒錯，但是你直線方程式設錯了，

你這樣是通過圓心，不是與圓相切，

而且你的直線方程式根本沒有未知數，這樣還需「假設」嗎？？



應該設此直線為3x-4y+k=0

(把4x+3y+5=0的x的係數和y的係數對調，再差一個負號，常數項是待解的未知數)

圓心到切線的距離會等於半徑，利用「點到直線距離公式」，

|3*1+(-4)*3+k|/根號(3^2+4^2)=|k-9|/5=5，所以|k-9|=25，
k-9=25 → k=34或k-9=-25 → k=-16

切線有兩條：3x-4y+34=0和3x-4y-16=0

Answer 2

首先你的直線斜率設錯了，應該是3/4
再者即使直線對了，直線通過圓心並非與圓相切。
但是平移的確是較簡單的方法
ax+by=c 與 ax+by=d 二直線距離為 ｜c-d｜/√(a^2+b^2)

解
因為直線與4x+3y+5=0垂直，假設直線為
3x-4y=k (與 ax+by=c 之直線的通式 bx-ay=k)
通過圓心(1,3)之直線方程式為 3x-4y=-9

與圓相切的直線與通過圓心(1,3)之直線距離等於半徑
假設與圓相切的直線方程式為 3x-4y=d
| d-(-9) | / √(3^2+4^2) = 5
| d+9 | = 25
d=16 or -34

所以直線為
3x-4y=-34 or
3x-4y=16

2007-01-03 22:05:11 補充：
亂碼√ 表示根號

Answer 3

先求出4x+3y+5=0的向量為(-3,4)

設此線切圓於(a,b)，該程式為y=(3/4)x+c => 3x-4y=-4c

圓心到此切點的向量k為=(a-1,b-3)

開始：

因為此線垂直4x+3y+5=0，所以該線向量與向量k平行(即為N倍)

=> (a-1,b-3)= n(-3,4)

a=-3n+1
代入圓方程式(因為切點也是圓上一點)
b=4n+3

即 (-3n+1-1)^2 + (4n+3-3)^2 = 25

25n^2 = 25 n=1 代回

a= - 2 b= 7

則方程式為 3*(- 2) - 4*7 = - 4c
c=17/2

=> 3x - 4y = - 34


以上，給我個答案吧，不然我也不能非常肯定

Answer 4

因為小弟我不太會用投影點算法＜敝班老師特愛用投影點　不過公式太複雜＞

所以我提出我的算法：
因為和4x+3y+5=0 所以知道和它垂直的方程式是3x-4y=k
<因為垂直向量dot等於0>
又把圓寫成
圓:(x-1)2+(y-3)2=25, 圓心(1,3), 半徑r=5
再使用點到直線的距離公式 點帶圓心 距離即半徑
5=|3x1-4x3-k| / 5 <做整理>
25=|-9-k|
k不難算出有 16和-34
所以有兩條切線方程式
3x-4y=16
3x-4y=-34
over~