何謂高斯機率分布

Question

何謂高斯機率分布? 何謂高斯亂數?

查了好多知識都言不及義

長短回答皆可 但讓我了解他到底講什麼?

有點急 謝謝~

Answer 1

常態分佈（normal distribution），又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在各領域，數學、物理及工程上，皆非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/7/8/f7898dd28cc9e34d4e932e3636da1647.png

則其機率密度函數為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/9/a/79af499be9466b7dce2cf8ac19fa0a07.png

常態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準常態分佈是μ = 0,σ = 1的常態分佈(見右圖中綠色曲線)。




機率密度函數

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/325px-Normal_distribution_pdf.png

綠線代表標準常態分佈

累積分佈函數

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Normal_distribution_cdf.png/325px-Normal_distribution_cdf.png

顏色與機率密度函數同
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是機率密度函數，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。累積分佈函數是一種機率上更加清楚的方法，但是非專業人士看起來不直觀(請看下邊的例子)。還有一些其他的等價方法，例如cumulant, 特徵函數, 動差生成函數以及cumulant-生成函數. 這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於機率分佈的討論。

[編輯] 機率密度函數


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/325px-Normal_distribution_pdf.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
四個不同參數集的機率密度函數(綠色線代表標準常態分佈)
常態分佈的機率密度函數 均值為 μ 方差 為σ2 (或標準差 σ) 是高斯函數的一個實例:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/2/6/a26ce9f1720508dd8a8dd846c9ee737c.png

(請看 指數函數 以及 π.)
如果一個隨機變量X 服從這個分佈, 我們寫作 X ~ N(μ,σ2). 如果 μ = 0 並且 σ = 1, 這個分佈被稱為標準常態分佈, 這個分佈能夠簡化為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/2/1/421b5739a4017c5263b878f5ac1eedbe.png

右邊是給出了不同參數的常態分佈的函數圖。
常態分佈中一些值得注意的量:

密度函數關於平均值對稱
平均值是它的眾數(statistical mode)以及中位數(median)
函數曲線下68.268949%的面積在平均值左右的一個標準差範圍內
95.449974%的面積在平均值左右兩個標準差2σ的範圍內
99.730020%的面積在平均值左右三個標準差3σ的範圍內
99.993666%的面積在平均值左右四個標準差4σ的範圍內
反曲點(拐點)(inflection point)在離平均值的距離為標準差之處

[編輯] 累積分佈函數 (分佈函數)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Normal_distribution_cdf.png/325px-Normal_distribution_cdf.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
上圖所示的機率密度函數的累積分佈函數
累積分佈函數是指隨機變量X小於或等於x的機率,用密度函數表示為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/3/1/631f3bf5613310069757ace2a76cb1f6.png

標準常態分佈的累積分佈函數習慣上記為Φ,它僅僅是指μ = 0, σ = 1時的值,


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/1/0/3108b007fdcfc054ec33946b9a8be5f2.png

標準常態分佈的累積分佈函數能夠被一個叫做誤差函數的特殊函數表示,


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/b/8/cb8af07b148a195fb65c404363891d36.png

它的反函數被稱為反誤差函數,為:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/5/7/7571ae0330bf16e1de07f6e83fc0538a.png

該分位數函數有時也被稱為probit函數。probit函數已被證明沒有初等primitive。
常態分佈的分佈函數Φ(x) 沒有解析表達式，它的值可以通過數值積分、泰勒積數或者漸進序列近似得到。