2題數學題！拜託各位大大！！只有國二程度而已

Question

求最小正整數n，使得n+256為625的倍數，n+625為256的倍數

設對於任何整數而言，ax3+bx2+cx+d都能被5整除，試問a、b、c、d中有哪些能被5整除

ax3=a乘以x的3次方

bx2=b乘以x的2次方 ，以此類推..

Answer 1

　這是......通訊解題的題目嗎?

　我先回答第 2 題 , 第 1 題可能晚一點

　(2)

　　對於任意整數 x , 存在 f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d 使得 5｜f(x)

　　將 x＝0 帶入　=>　f(x)＝d　=>　5｜d

　　將 x＝1 帶入　=>　f(x)＝a＋b＋c＋d
　　　　　
　　　　　　　　 =>　5｜(a＋b＋c)

　　將 x＝2 帶入　=>　f(x)＝8a＋4b＋2c＋d

　　　　　　　　 =>　5｜(8a＋4b＋2c＋d) , 又 5｜d

　　　　　　　　 =>　5｜2(4a＋2b＋c)

　　　　　　　　 =>　5｜(4a＋2b＋c) , 又 5｜(a＋b＋c)

　　　　　　　　 =>　5｜(3a＋b)

　　將 x＝3 帶入　=>　f(x)＝27a＋9b＋3c＋d

　　　　　　　　 =>　5｜(27a＋9b＋3c＋d) , 又 5｜d

　　　　　　　　 =>　5｜3(9a＋3b＋c)　=>　5｜(9a＋3b＋c)

　　　　　　　　 =>　5｜(3(3a＋b)＋c) , 又 5｜(3a＋b)

　　　　　　　　 =>　5｜c

　　將 x＝1 當入　=>　f(x)＝a＋b＋c＋d

　　　　　　　　 =>　5｜(a＋b＋c＋d) , 又 5｜c 且 5｜d

　　　　　　　　 =>　5｜(a＋b) , 又 5｜(3a＋b)

　　　　　　　　 =>　5｜2a　=>　5｜a , 又 5｜(a＋b)

　　　　　　　　 =>　5｜b

　　由以上討論知 a , b , c , d 皆能被 5 整除　#

　　此題也可以用 x＝－1 等等帶入看看 , 也可以做得出來

2007-01-01 19:40:54 補充：
　你要不要延長發問時間

2007-01-02 20:27:05 補充：
　第 1 題的作法我想樓下的 JJ大 已經講得很清楚了

　那我就告訴你如何找不定方程整數解好了 , 畢竟有的方程不好找特解

　　　625a－256b＝－369　=>　256b＝625a＋369

　=>　b＝(625a＋369)/256＝(2a＋1)＋[(113a＋113)/256]

　令 w＝(113a＋113)/256　w 屬於 Z(整數集)　(因為 b 屬於 Z)

　=>　a＝(256w－113)/113＝(2w－1)＋(30w/113)

2007-01-02 20:27:15 補充：
　易知 w＝113 使 a 屬於 Z　=>　a＝255　=>　b＝624

　找到一組特解 (a , b)＝(255 , 624)

　=>　625(255－256t)－256(624－625t)＝369

　=>　一般解 a＝255－256t , b＝624－625t

　=>　n＝625a－256＝625(255－256t)－256

　=>　n 有最小值 159119 發生在 t＝0 上　#



　此為 尤拉解法

2007-01-03 20:04:43 補充：
　再舉一例 , 利用尤拉解法：

　　　123a＋456b＝789　=>　41a＋152b＝263

　=>　a＝(－152b＋263)/41　　......由係數小的開始作

　=>　a＝(－3b＋6)＋(－29b＋17)/41　　......將 a 寫成「整數＋ˍˍ」的型式

　=>　令 u＝(－29b＋17)/41 , u 屬於 Z　　......因為 a 為整數　=>　(－29b＋17)/41 必為整數

　=>　b＝(－41u＋17)/29＝－u＋(－12u＋17)/29

2007-01-03 20:04:50 補充：
　=>　易看出 u＝－1 使 b 為整數　=>　b＝2 , a＝－1

　(若此時尚無法看出 , 則在令 w＝(－12u＋17)/29 一直作下去 , 直至找出符合條件的數)

　找到一組特解 (a , b)＝(－1 , 2)

　=>　41(－1)＋152(2)＝263　=>　41(－1＋152t)＋152(2－41t)＝263

　(注意 152 為原 b 的係數 , 41 為原 a 的係數 , 且 41．152t＋152．(－41t)＝0 恰抵銷)

　=>　一般解 (a , b)＝(－1＋152t , 2－41t)　#

Answer 2

第二題我認為樓上兩位大大都想的太複雜了.用到了同餘
基本上我是個國中生.國中並沒交同餘的觀念
因此我提出一個解法.希望能有點幫助.
但樓上兩位的解法還是很好

設ax^3+bx^2+cx+d=5(ex^3+fx^2+gx+h)
則a=5e.b=5f.c=5g.d=5h
又a.b.c.d.e.f.g.h皆屬於R(整數)
即a.b.c.d皆為5的倍數

Answer 3

1. 由題意
n+256 = 625a, n+625=256b (a, b 為整數)
=> n = 625a - 256 = 256b - 625
=> 369 = 256b - 625a (變成求整數解)
=> 很顯然地, b = -1, a = -1 為一特殊解, 而 b=-1+625t, a=-1+256t 為一般解
=> n = 625(-1+256t) - 256
=> t=1 時, n = 625*256-625-256 = 159119 最小
2. f(x) = ax3+bx2+cx+d
本題應用一個性質: 若 p | A 且 p | B 則 p | (mA+nB)
f(0) = d => 5 | d (5 可以整除 d)
f(1) = a+b+c+d => 5 | a+b+c+d
f(-1) = -a+b-c+d => 5 | -a+b-c+d
=> 5 | (a+b+c+d) + (-a+b-c+d) => 5 | 2b + 2d => 5 | 2b (因為 5 | d) => 5 | b
同時 由 5 | a+b+c+d, 5 | b, 5 | d 得 5 | a + c
f(2) = 8a + 4b + 2c + d => 5 | 8a + 4b + 2c + d
加上 5 | b, 5 | d, 5 | a + c => 5 | (8a + 4b + 2c + d) - 4b - d - 2(a+c)
=> 5 | 6a => 5 | a => 5 | c
所以 a, b, c, d 全是 5 的倍數
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.