證明題*1，第1題可以不答，但第2題一定要

Question

求最小正整數n，使得n+256為625的倍數，n+625為256的倍數

a.b.c3數均為正數，證明1

a/(a b) b/(b c) c/(a c)

a/(a b) b/(b c) c/(a c)，中間的空格為加

Answer 1

1. 由題意
n+256 = 625a, n+625=256b (a, b 為整數)
=> n = 625a - 256 = 256b - 625
=> 369 = 256b - 625a (變成求整數解)
=> 很顯然地, b = -1, a = -1 為一特殊解, 而 b=-1+625t, a=-1+256t 為一般解
=> n = 625(-1+256t) - 256
=> t=1 時, n = 625*256-625-256 = 159119 最小
2. 這類的題目基本做法就是: 通分化簡=>證明分子大於分母
電晶體 大大已經寫出了步驟, 不再贅言.
祇是 三項在通分 可能會有點繁
在此 我們希望能稍微簡化一些
a b c
= ------ + ------ + ------ - 1
a+b b+c a+c
-b b c
= ------ + ------ + ------
a+b b+c a+c
b(a-c) c
= --------------- + ------
(a+b)(b+c) a+c
b(a-c)(a+c)+ c(a+b)(b+c)
= ---------------------------------
(a+b)(b+c)(a+c)
分子 = ba2 - bc2 + abc + b2c+ ac2 + bc2 = ba2 + abc + b2c + ac2 > 0
a b c
=> ------ + ------ + ------ - 1 > 0
a+b b+c a+c
a b c
=> ------ + ------ + ------ > 1
a+b b+c a+c
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1. Let n+256=625a, n+625=256b, (n+625)-(n+256)=369=256b-625a,
369整除[(256b-625a)-369b+369*2a]=-113(b-a), 369整除(b-a).
Let b=a+369c, then (n+625)*625-(n+256)*256=256(a+369c)*625-625a*256, 369(n+881)=256*625*369c,
n+881=256*625c. Let c=1, then n=160000-881=159119

2. a.b.c均為正數，證明1
a(b+c)(a+c)+b(a+b)(a+c)+c(a+b)(b+c)-(a+b)(b+c)(a+c)=a[c^2+(a+b)c+ab]+b[a^2+(b+c)a+bc]-a[b^2+(a+c)b+ac]
=acc+aac+abc+aab+(aab+abb+abc+bbc)-abb-aab-abc-aac=acc+aab+bbc+abc>0 因為a.b.c均為正數.
所以a(b+c)(a+c)+b(a+b)(a+c)+c(a+b)(b+c)>(a+b)(b+c)(a+c), a/(a+b)+b/(b+c)+c/(a+c)>1