高一數學多項式問題～

Question

1.試分解x^4+1999x^2+1998x+1999(因式之係數均需為整數)。

2.設a、b為x^2-5x+7=0之兩根，則以a^2、b^2為兩根，且x^2項係數為1的二次方程式為何？

3.設a

第一題如果用手算，不要靠電子儀器幫助呢？要怎麼處理

Answer 1

1.令n=1998
則原式=x^4+(n+1)x^2+nx+(n+1)
=x^4+nx^2+x^2+nx+n+1
=x^4+x^2+1+nx^2+nx+n
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)+n(x^2+x+1) [前面x^4+x^2+1分解方法請往下看]
=(x^2+x+1)[x^2-x+1+n]
=(x^2+x+1)(x^2-x+1999)

x^4+x^2+1
=x^4+2x^2+1-x^2 [加x^2減x^2]
=(x^2+1)^2-x^2 [平方差]
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

2.由根與係數的關係,ab=7,a+b=5
a^2+b^2+2ab=25
a^2+b^2=11 ----------------1
(ab)^2=a^2b^2=49---------------2

由1,2與根與係數的關係,代入得到方程式
x^2-11x+49=0

3.
將原式乘開後得x^2-(2b+2c-2a)x+2bc-a^2=0 由偉達定理
r+k=2b+2c-2a rk=2bc-a^2
判斷式=(2b+2c-2a)^2-4(2bc-a^2)
=4[(b+c-a)^2-2bc+a^2)]
=4[2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac]
=4[(a-b)^2+(a-c)^2]>0. [由平方非負性質,且a不等於b or c]
使用二次方程式公式
k=(b+c-a)+根號[(a-b)^2+(a-c)^2]>c
因為k多了b-a+根號[(a-b)^2+(a-c)^2]

r=(b+c-a)-根號[(a-b)^2+(a-c)^2] 因為r多了b-a-根號[(a-b)^2+(a-c)^2]
b-a是負的. 因為a>b

r-b=(c-a)-根號[(a-b)^2+(a-c)^2]
(c-a)^2<(a-b)^2+(a-c)^2, 所以r

r-a=(b+c-2a)-根號[(a-b)^2+(a-c)^2]
(b+c-2a)^2-(2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)
=(4a^2+b^2+c^2-4ab-4ac+2bc)-(2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)
=2a^2-2ab-2ac+2bc=2(b-a)*(c-a)>0, 所以r>a

所以a

Answer 2

1.
多補一個x，然後再扣掉⇒

x^4+1999x^2+1999x+1999-x

=(x^4-x)+1999(x^2+x+1)

=x(x^3-1)+1999(x^2+x+1)

=x(x-1)(x^2+x+1)+1999(x^2+x+1)

=(x^2+x+1)(x^2-x+1999)

2.
由根與係數得知a+b=5，ab=7
故a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=11，(a^2)(b^2)=49

故可倒推此方程式為 x^2-11x+49=0

3.
由勘根定理
f(a)=2(a-b)(a-c) 為正
f(b)=-(b-a)^2 為負
f(c)=-(c-a)^2 為負
至此只能得知a、b之間存在一根。

但由圖形來看，此方程為一開口向上(因x^2的係數為正)的拋物線，
又f(b)>f(c) [ 因 f(c)=-(c-a)^2 比 f(b)=-(b-a)^2 負更多 ]
所以你把圖大概畫一下
[先畫一條x軸，f(a)在上面，f(b)在下面，f(c)在更下面，然後開口又向上的拋物線]，
所以可知 r 在a、b間，而k在c 的右邊
故大小順序為 a
希望你看得懂ㄏㄏ

Answer 3

1.我用matlab計算，得到四個根0.5000 +44.7074i, 0.5000 -44.7074i, -0.5000 + 0.8660i, -0.5000 - 0.8660i. 所以假設x^4+1999x^2+1998x+1999=(x^2-x+a)*(x^2+x+b)=x^4+(a+b-1)x^2+(a-b)x+ab, 2a=3998, a=1999, b=1, 所以x^4+1999x^2+1998x+1999=(x^2-x+1999)*(x^2+x+1)

2. x^2-5x+7=(x-a)*(x-b)=x^2-(a+b)x+ab, a+b=5, ab=7; a^2+b^2=[(a+b)^2]-2ab=25-14=11, (ab)^2=49; (x-a^2)*(x-b^2)=x^2-(a^2+b^2)x+(ab)^2=x^2-11x+49

3. 2[x^2-(b+c)x+bc]-(x^2-2ax+a^2)=x^2-(2b+2c-2a)x+2bc-a^2=0, r+k=2b+2c-2a, rk=2bc-a^2.
(2b+2c-2a)^2-4(2bc-a^2)=4[(b+c-a)^2-2bc+a^2)]=4[2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac]=4[(a-b)^2+(a-c)^2]>0. k=(b+c-a)+[(a-b)^2+(a-c)^2]^(1/2)>c, 因為b-a>0, [(a-b)^2+(a-c)^2]>0.
r=(b+c-a)-[(a-b)^2+(a-c)^2]^(1/2), r-c=(b-a)-[(a-b)^2+(a-c)^2]^(1/2), (b-a)^2<(a-b)^2+(a-c)^2, 所以r r-b=(c-a)-[(a-b)^2+(a-c)^2]^(1/2), (c-a)^2<(a-b)^2+(a-c)^2, 所以r r-a=(b+c-2a)-[(a-b)^2+(a-c)^2]^(1/2), (b+c-2a)^2-(2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)=(4a^2+b^2+c^2-4ab-4ac+2bc)-(2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)=2a^2-2ab-2ac+2bc=2(b-a)*(c-a)>0, 所以r>a, 所以a