三腳架的幾何問題

Question

一照相機三腳架放置於地面上. 三隻腳長度均為105cm. 三個腳尖彼此間距離分別為70cm, 80cm, 90cm. 試求照相機離地面的距離,

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1007010100267.GIF

這題可用平面幾何解！如圖，設A,B,C是三個腳尖，D點是照相機的位置，
O點是D點在三角形ABC的投影點，則O是三角形ABC的外心。

證明：
三角形ADO、BDO、CDO都是直角三角形，設DO=x，則
AO^2=AD^2-DO^2=105^2-x^2，BO^2=BD^2-DO^2=105^2-x^2，CO^2=CD^2-DO^2=105^2-x^2
所以AO=BO=CO，O是三角形ABC的外心。

設外接圓半徑=AO=BO=CO=R，我們有公式R=(三角形三邊乘積)/(4*三角形面積)，
用海龍公式，三角形面積=√(120*50*40*30)=1200√5，
R=(70*80*90)/(4*1200√5)=105/√5
x^2=105^2-R^2=11025-2205=8820=42*42*5
故照相機離地面的距離=x=42√5

Answer 2

Let A,B,C,D為三角架的四個頂點，座標分別為A(0,0,0), B(80,0,0), C(a,b,0), D(c,d,h).
Let AC的長度為70, BC的長度為90. Then a^2+b^2=4900, (80-a)^2+b^2=8100.
6400-160a+a^2+b^2=8100, 6400-160a=8100-4900=3200, 160a=3200, a=20. b^2=4900-400=4500, b=30*(5^(1/2)).

c^2+d^2+h^2=105^2, (c-80)^2+d^2+h^2=105^2, (c-20)^2+[d-30*(5^(1/2))]^2+h^2=105^2. c=40,
400+d^2-60d*(5^(1/2))+4500+h^2=105^2. (1600+d^2+h^2)-{400+d^2-60d*(5^(1/2))+4500+h^2}=1200+60d*(5^(1/2))-4500=105^2-105^2=0, 60d*(5^(1/2))=3300, d=11*(5^(1/2)).
1600+605+h^2=105^2=11025, h^2=8820=4*5*21^2, h=42*(5^(1/2))