數學 多項式

Question

1設K為實數 若不論X為任一實數 KX^2+2X+K的值恆負 求K的範圍
2以知二次函數Y=ax^2+bx+1/a再x=3時有max=8 求實數a b 的值

Answer 1

1. 一元二次多項式 ax2+bx+c 的值恆負 => 拋物線開口朝下, 與 x 軸沒有交點
(a) 拋物線開口朝下 => a < 0
(b) 與 x 軸沒有交點 => 判別式 D (= b2 - 4ac) < 0
所以 (a) K < 0. (b) 4 - 4KK < 0 => K2 > 1 => K < -1 或 K > 1
=> 由 (a) 與 (b) 得 K < -1
2. 一元二次多項式 f(x) = ax2+bx+c 有最大值 => a < 0, x = -b/(2a), f(-b/(2a)) 是最大值
(x = -b/(2a) 可以由 f'(x) = 0 求得)
所以 (a) a < 0 (b) x = 3 = -b/(2a) => b = -6a (c) 9a + 3b + 1/a = 8 是最大值
(b) 代入 (c) 中 => 9a2 + 8a - 1 = 0 => a = -1 或 1/9 (不合. a<0)
所以 a = -1, b = -6a = 6
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

f(x)=k(x^2+2/k+1/k^2)+k-1/k
f(x)=k(x+1/k)^2+(k-1/k)
因為它的值恆為負
所以k<0,這樣k(x+1/k)^2才會<0
k- 1/k <0,這樣整個式子加起來才會小於0
k-1/k<0 k介於-1到0之間...

2.Y=a(x^2+b/a x+b^2/a^2)+1/a-b^2/a
Y=a(x+b/a)^2+(1-b^2)/a
我們可以比對出來
-b/a=3
1-b^2/a=8

3a=-b 代入第二式
1-9a^2/a=8 同乘a,移項
1-9a^2-8a=0 求出解
9a^2+8a-1=0
(9a-1)(a+1)=0
a=1/9 or -1
b=-1/3 or 3

得到解 (a,b)=(1/9,-1/3) or (-1,3)

可能有大錯特錯,請指教!

Answer 3

1設K為實數 若不論X為任一實數 KX^2+2X+K的值恆負
=>k<0且判別式<0.4-k2<0=>k>2或k<-2=>得到k<-2
2以知二次函數Y=ax2+bx+1/a=a(x-3)2+8=ax2-6ax+9a+8
利用比較係數法b=-6a.1/a=9a+8=>9a2+8a-1=0
(9a+1)(a-1)=0.所以a=-1/9或a=1
當a=-1/9.b=2/3.當a=1.b=-6.

Answer 4

１、因為此多項式＜０，恆成立
﹝則可知道此拋物線圖形開口向下，且與Ｘ軸沒有交點﹞
所以Ｋ＜０----(1)，且Ｄ（判別式）＜０
　　　　　　　　　2^2 －4(K)(K) ＜０
可得 Ｋ＞１----(2)　或　Ｋ＜－１----(3)
由１、２、３式取交集可得　Ｋ＞１
２、二項函數Ｙ＝ax^2+bx+1/a
配方，原式=＞ Y= a(x+b/2a)^2 + (4-b^2)/4a
又因為 X=3時有最大值８
所以Ｘ＝b/2a＝３　有最大值＝(4-b^2)/4a＝８
可得 a= -1 or a= 1/9
又因為出現最大值
所以X^2項係數＜０
所以 1/9 不合
故可得 X = -1



2006-12-31 10:39:46 補充：
上面X= -1修改成 a= -1
補上b= - 6

2006-12-31 18:10:54 補充：
１、更正　Ｋ＜ -1