運算符號@ 請幫我解答

Question

對任意兩個整數x,y定義一個運算"@"為x@y=2(x+2xy+y).
若正整數a,b滿足a@b=384,則數對(a,b)其中a<或=b共有幾對?
請幫幫我^^
謝謝

Answer 1

a@b = 384 = 2(a+2ab+b)
a+2ab+b = 192
a(1+2b) + (1/2)(1+2b) - (1/2) = 192 <= 為了湊出 (1+2b) 之故
(1+2b)(a+1/2) = 192.5 <= 這樣才能變成兩數的乘積
(1+2b)(2a+1) = 385 <= 全部取整數來計算
385 = 1*385 = 5*77 = 7*55 = 11*35
但是 a, b 為正整數, 所以 2a+1, 2b+1 都大於1.
1*385 這組不能用. 又 a <= b
所以 2a+1=5, 2b+1=77 或 2a+1=7, 2b+1=55 或 2a+1=11, 2b+1=35
=> a=2,b=38 或 a=3,b=27 或 a=5,b=17 (三對)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.