數學－三角測量

Question

１. 某船測得一燈塔在其北 15度 西 ，此船向東北方航行８浬後，在測得燈塔在其正西方，求此時船與燈塔的距離。

２ . 某人於山腳測得山頂的仰角為４５度　由山腳循著一段１５度的斜邊上行１００公尺後　再測得山頂的仰腳為６０度　求山高。

越詳細越好哦！

第一題我大致上了解 .. 但是你的角B 和角C 怎麼來的? 題目說移動後的正西方 應該是代表90度吧? 角B應該是90度? 角C 30度?

AB和BC的夾角就為45度 不就是角B嗎？　角Ｂ不是等於９０度？
畫了Ｎ次　都還是搞不懂．．

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006123103426.GIF


1.
見圖一，藍色三角形和黃色三角形都是直角三角形，
角D是直角，角DAC=15度，角DAB=45度，AB=8浬，
依題意，燈塔在C點，某船原本在A點，沿著AB線段航行8浬後，到達B點，
此時燈塔在其正西方，求BC長度。

sin角DBA=sin45度=(根號2)/2=AD/8，故AD=8*(根號2)/2=4根號2，
tan角DCA=tan75度=2+根號3=AD/CD=4根號2/CD，故CD=(4根號2)/(2+根號3)=(有理化)(8根號2)-(4根號6)，
又，BD=AD=4根號2，
故船與燈塔距離=BC=BD+CD=4√2+[(8√2)-(4√6)]=(12√2)-(4√6)

2.
見圖二，
有畫直角記號的都是直角，角CBF=60度，角BAD=15度，角CAE=45度，
AB線段=100，山高CE設為x，則AE=CE=x(等腰直角三角形)
依題意，某人於山腳A測得山頂C的仰角為45度，由A循著AB線段上行100公尺後，到達B點，
此時再測得C的仰角為60度，求山高x。

sin角BAD=sin15度=(根號6-根號2)/4=BD/AB=BD/100，故BD=25(根號6-根號2)=FE(長方形的寬相等)
sin角ABD=sin75度=(根號6+根號2)/4=AD/AB=AD/100，故AD=25(根號6+根號2)

CF=CE-FE=CE-BD=x-25(根號6-根號2)
BF=DE(長方形的長相等)=AE-AD=x-25(根號6+根號2)
tan60度=根號3=CF/BF=[x-25(根號6-根號2)]/[x-25(根號6+根號2)]，
亦即根號3=[x-25(根號6)+25(根號2)]/[x-25(根號6)-25(根號2)]，
移項化簡得[(根號3)-1]x=100根號2，故x=(100根號2)/[(根號3)-1]，有理化之後，
山高=x=50(√6+√2)

Answer 2

1.圖以XY座標軸來說
原點表示A船先在此測得燈塔C在其北15度西(第二象限)，所以燈塔到Y軸間角度為15度，A船項東北移動到B點(第一象限)，AB長為 8，所以B點船與Y軸間為45度，使用正弦定理：
(A / sinA)=(B / sinB)
角A=15度+45度= 60度，角B=45度，角C=180-45-60=75度
(BC長 / sinA ) = ( AB長 / sinC )
→(BC長 / sin60度) = (8/sin75度)
→BC長 = sin60度*8/sin75度
= (根號3 / 2)*8 / [(根號6+根號2) / 4]
= 4根號3*[ 4 / (根號6+根號2)]
= 4根號3*[4*(根號6 - 根號2)/ (6-2)]
= 4(根號18 - 根號6) = ( 12根號2 - 4根號6 )浬

2.設原點O為山底，A為為山頂(山高為OA在Y軸)，原點左邊一點B，BA線段與X軸間為45度，BC長 = 100 ，BC線段與X軸間為15度，在C點做與X軸平行線交Y軸為D點，CA與CD間為60度，角D為90度，在C點做與Y軸平行線交X軸為E點，角E為90度。
設CD長 = a，CE長 = b，所求山高 = a根號3 + b
利用正弦定理如上題
(AC長 / sin角ABC ) = ( BC長 / sin角BAC )
→ 2a / sin(45-15)度 = 100 / sin(45-30)度
→ 2a = sin30度* 100 / sin15度
→ a = 25 / [(根號6 - 根號2) / 4]
→ a = 25 * [ 4 / (根號6 - 根號2)]
→ a = 25 *(根號6 + 根號2)
(CE長 / sin角CBE ) = ( BC長 / sin角BEC )
→ b / sin15度 = 100 / sin90度
→ b = 100 * sin15度
→ b = 100 *[(根號6 - 根號2) / 4]
→ b = 25 *(根號6 - 根號2)
山高 = a根號3 + b
= 25 *(根號6 + 根號2)*根號3 + 25 *(根號6 - 根號2)
= 25[根號18+根號6+根號6-根號2]
= 25[3根號2+2根號6-根號2]
= 25[2根號2+2根號6]
= 50[根號2+根號6]

圖形但願你看的懂，我盡力了

2006-12-31 16:11:57 補充：
&rarr為箭頭

2006-12-31 17:15:15 補充：
第一題，B點西方就是燈塔，所以是90度，但是A到B為45度角，所以AB和BC的夾角就為45度，在三角形中，已經知道角A為60度，角B為45度，用180度反扣得角C為75度囉