高一HCF，LCM的問題 ...急

Question

1.f(x)=x^2+(c-6)x+(2c-1)，g(x)=x^2+(c+2)x+2c，已知f(x)與g(x)知最高公因式為一次式，則此一次因式______


2.a，b，c為正整數，f(x)=x^3+2x^2-ax+6，g(x)=x^3+11x^2+b-35之最高公因式為x-c，則b-2a=_______


3.若a，b均為整數，且方程式x^2-ax+817=0與x^2-ax+3553=0有一共同的質數根，則數對(a，b)=_______














我會自己選最佳解答~~不缺點的可以回答，雖然只有10點，可是可以增加採用率喔~~

抱歉，第三題題目打錯，應該是「x^2-bx 3553=0」這樣才對。

Answer 1

1. 一般兩多項式的公因式求法會考慮消去最高次項 (如果可以的話) 以降低其次數.
所以 g(x) - f(x) = (x2+(c+2)x+2c) - (x2+(c-6)x+(2c-1)) = 8x +1 是解
2. 直覺上 g(x) 應該是 x3+11x2+bx-35
a) 如果 g(x) = x3+11x2+bx-35
由 f(x), g(x) 常數項 得到 6, 35 的最高公因數 是 1
所以 c 祇能是 1 或 -1. 但是 c 為正整數, 所以 c = 1.
x - 1 是最高公因式.
x = 1 代入, f(1) = 0 得到 a = 9.
x = 1 代入, g(1) = 0 得到 b = 23. 均大於 0.
=> b - 2a = 5
b) 照原題 g(x) = x3+11x2+b-35
f(x)=x3+2x2-ax+6, c為正整數 => c 可能為 1, 2, 3, 6
x = c = 1 代入 => a = 9, b = 23
=> f(x) = (x-1)(x2+3x-6), g(x) = (x-1)(x2+12x+12) (可)
x = c = 2 代入 => a = 11, b = -17 (b < 0, 不合)
x = c = 3 代入 => a = 17, b = -91 (b < 0, 不合)
x = c = 6 代入 => a = 49, b = -577 (b < 0, 不合)
所以 b-2a = 5
其他兩位大大都忽略了a，b，c為正整數的條件
3. 題目有誤: x2-bx+3553=0 比較合理
x2-ax+817=0 與 x2-bx+3553=0有一共同的質數根
所以此質數根必為817 與 3553的公因數
(817, 3553) = 19 是根
=> 代入方程式 得 a= 62, b = 206
=> (a,b) = (19, 206)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.f(x)=x^2+(c-6)x+(2c-1)，g(x)=x^2+(c+2)x+2c，已知f(x)與g(x)知最高公因式為一次式，則此一次因式______(8x+1)
<解>
x^2+(c+2)x+2c=(x+c)(x+2)
公因式為(x+c)或(x+2)
-c代入f(x)=x^2+(c-6)x+(2c-1)，可得c=1/8......解得公因式(8x+1)
-2代入f(x)=x^2+(c-6)x+(2c-1)，可得c=無解


2.a，b，c為正整數，f(x)=x^3+2x^2-ax+6，g(x)=x^3+11x^2+b-35之最高公因式為x-c，則b-2a=_______5或-11
<解>
(6,35)=1,c=1或-1..........(猜測題目之b應為bx)
c=1代入f(x)=x^3+2x^2-ax+6,a=9,代入g(x)=x^3+11x^2+bx-35,b=23
c=-1代入f(x)=x^3+2x^2-ax+6,a=-7,代入g(x)=x^3+11x^2+bx-35,b=-25
b-2a=5或-11

3.若a，b均為整數，且方程式x^2-ax+817=0與x^2-ax+3553=0有一共同的質數根，則數對(a，b)=_______(62,206)
<解>
(817,3553)=19.........猜測題目為x^2-"b"x+3553=0
x^2-ax+817=(x-19)(x-43),a=62
x^2-ax+3553=(x-19)(x-187),b=206