點到線之對稱點

Question

M(-1,2)對3X+Y-4=0之對稱點的座標?

它的作法是M(-1,2)對3X+Y-4=0之對稱點M2(-1+6t,2+2t),
其中t=-﹝(-3+2-4)/(9+1)﹞=1/2，所以M2(2,3)
看不懂它t怎麼算出來的~誰能跟我解釋理由~~

Answer 1

對於任何一條直線 ax + by + c = 0, 假設 x0, y0是線上一點
則直線上的點都可以寫成 (x0+bt, y0-at) 或 (x0-bt, y0+at)
這就是直線的參數式 (bt, at 是取直線的係數, 前後交換, 一正一負. 這樣代入原方程式就可以消去 t)
而所有與這條直線垂直的線可以寫成 bx - ay + d = 0 (因為兩者斜率的乘積為 -1)
所以這垂直線的參數式是 (x1+at, y1+bt). (x1, y1) 是垂直線上一點
在題目裡 M 與 M2 的連線會垂直 3X+Y-4=0 且通過 M(-1,2) 所以參數式是 (-1 + 3t, 2 + t). 它之所以寫 (-1+6t,2+2t), 是為了配合中點的計算方便. (參數的部分可以乘上任何非 0 的數)
然後 M 與 M2 的中點 x = [(-1) + (-1 + 6t)]/2 = -1+3t, y = [(2) + (2+2t)]/2=2+t (這樣就不會有分數了)
中點在直線 3X+Y-4=0 上 => (-1+3t, 2+t) 代入 => 3(-1+3t) + (2+t)-4 =0
=> t=-﹝(-3+2-4)/(9+1)﹞=1/2
如果你對參數概念不是很清楚 可以利用基本的方式來做
令 M2 (x1, y1).
1. M, M2 中點在直線上 => 3[(-1+x1)/2] + (2+y1)/2 - 4 = 0
2. M, M2 線段垂直直線 => (-3)*[(y1-2)/(x1+1)] = -1 (斜率的乘積為 -1)
然後解二元一次方程組.
其實, 投影點, 對稱點 都有公式可代入. 但是那個沒有背的必要, 所以我也就不提供了.
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

基本上這提有用到"向量"的技巧來算

令N為以3X+4Y-4=0對稱M的點

N與M分別在3X+4Y-4=0兩邊且距離相同




因為M與N連成的線會垂直於3X+4Y-4=0 而走在3X+4Y-4=0的"法向量上" 所以

以其向量單位假設 M 走其"法向量"(3t,t) --->(X有2t個單位 走Y有T個單位)會到3X+4Y-4=0上

而再走一次(3t,t)--->(共走(6t,2t))會到N


因為M(-1,2)所以令N點為 (-1+6t,2+2t)



<再來解t>

剛剛說M走(3t,t)會到3X+Y-4=0線上 ,所以令Q為3X+Y-4=0上一點

Q(-1+3t,2+t)帶入3X+Y-4=0


-->
3(-1+3t)+(2+t)-4=0
10t=5
t=1/2

所以M對稱點N(-1+6t,2+2t)即有解N(2,3)


註:N點即你設的對稱點M2

Answer 3

看題目來說 這是平面中 點和線的關西

作對稱點喔 我的作法是先作投影點 （點投影到直線上）

首先呢　要先＂參數化＂這條直線

所以：　設　ｘ＝－１＋３ｔ
　　　　　　ｙ＝２＋ｔ　　　
　　然後這個參數符合這個方程式　所以帶進去
　３（－１＋３ｔ）＋２＋ｔ－４＝０　　
　　　　　ｔ＝１／２

ＯＫ　然後再帶進去　（Ｘ，Ｙ）＝　（１／２，２／５）
　
所以投影點就是　這兩點的中點（－１，２）和所求的點　

設所求的點為　（ａ，ｂ）
（－１＋ａ）／２＝１／２　　＝＞　ａ＝２
（２＋ｂ）／２＝５／２　　　＝＞　ｂ＝３

所以對稱點就是（２，３）囉
　

Answer 4

1.你將"M對3X+Y-4=0之對稱點"假設為M2
如果你將圖形畫出來~你可以發現3X+Y-4=0將直線MM2平分成兩
等分。且MM2與3X+Y-4=0互相垂直。
2.由1的討論可以發現~直線MM2的中點必在3X+Y-4=0的直線上。
3.利用中點公式，則可得到中點座標為O(-1+3t,2+t)，將O點代入
3X+Y-4=0的式子中，即可將t解出~

希望上面的說明~能夠讓你了解~
加油嚕~數學是很有趣ㄉ^^