高一HCF，LCM的問題

Question

1.若x^3+cx^2-x+2c與x^2+cx-2之最高公因式為一次式，則實數c=________。


2.若x^2+kx+8與x^3+kx+8之最低公倍式為四次式，則實數k=________。


3.若x^3+ax^2+2x+1與x^3+bx^2+3x+2之最低公倍式為x^4+px^3+qx^2+rx+s，則：

(1) (a,b)=________

(2) (p,q,r,s)=________








我會自己選最佳解答~~不缺點的可以回答，雖然只有10點，可是可以增加採用率喔~~

Answer 1

1. (x3+cx2-x+2c)/(x2+cx-2) = x ... (x+2c) (餘式)
所以 x+2c 是最高公因式
x = -2 代入 x3+cx2-x+2c 得 -4c3+4c = 0 => c = 0 or 1 or -1
x = -2 代入 x2+cx-2c 得 2c2-2= 0 => c = 1 or -1
綜合兩式得 c = 1 or -1

2. x2+kx+8與x3+kx+8之最低公倍式為四次式
=> 最高公因式為一次式
(x3+kx+8) - (x2+kx+8) = x2(x-1)
因為 x 不是它們的公因式, 所以 x-1 是公因式
x = 1 代入 x2+kx+8 得 k+9= 0 => k = -9

3. x3+ax2+2x+1與x3+bx2+3x+2之最低公倍式為四次式
=> 最高公因式為二次式
=> (x3+bx2+3x+2)-(x3+ax2+2x+1) = (b-a)x2+x+1 為公因式
假設 x3+ax2+2x+1 = [(b-a)x2+x+1](mx+n)
由常數項得知 n=1.
再由一次項得知 m+n=2. => m=1
=> x3+ax2+2x+1 = [(b-a)x2+x+1](x+1) = (b-a)x3+(b-a+1)x2+2x+1
=> b-a = 1; b-a+1=a; => a=2, b=3
同理可得 x3+bx2+3x+2= [(b-a)x2+x+1](x+2)
所以最低公倍式 = (x2+x+1)(x+1)(x+2)=x4+4x3+6x2+5x+2
=> (a,b)=(2,3); (p,q,r,s)=(4,6,5,2)

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