多項式，於是定理

Question

n為整數
X^2n+1 mod x^2-1 = ax+b
X^2n+1 mod (x-1)^2 = cx+d
則
(a)a=1
(b)b=0
(c)c=-2n
(d)d=2n+1
(e)a+b+c+d=2
請務必解釋運算過程

X^2n-1 ===> X^(2n 1)
x^2-1 ===>(X^2)-1
才對，不好意思啊

Answer 1

既然你用同餘式表示，那我也就用同餘式解好了。
介紹你兩個多項式除法性質：
(一)對於任意正整數n，多項式除法x^(2n)≡1(mod (x^2-1))成立
也就是x^(2n)除以(x^2-1)的餘式是1

(二)對於任意正整數n，多項式除法x^(2n)≡2nx-(2n-1)(mod (x-1)^2)成立
也就是x^(2n)除以(x-1)^2的餘式是2nx-(2n-1)

(先解題，證明在後)
x^(2n)≡1(mod (x^2-1))，兩邊同乘以x，x^(2n+1)≡x≡1*x+0(mod (x^2-1))
所以a=1，b=0

x^(2n)≡2nx-(2n-1)(mod (x-1)^2)，兩邊同乘以x，
x^(2n+1)≡2nx^2-(2n-1)x≡
{用長除法，[2n+(1-2n)+0]除以[1-2+1]}≡(2n+1)x+(-2n)(mod (x-1)^2)
所以c=2n+1，d=-2n
選(a)(b)(e)


圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006122907650.GIF

Answer 2

題目不清楚: X^2n+1 是 X2n+1 還是 X2n+1

看起來比較像後者...
X2n+1 = (X2-1)Q1(X) + ax+b ...(1)
1 代入 (1) 式 => 1 = a + b
-1 代入 (1) 式 => -1 = -a + b
=> a=1; b=0 => (a), (b) 對
X2n+1 = (x-1)(X2n + X2n-1 +X2n-2 + ...+1) + 1
X2n + X2n-1 +X2n-2 + ...+1 = (x-1)Q2(x) + r ...(2)
1 代入 (2) 式 => 2n+1 = r
所以 X2n+1 = (x-1)[(x-1)Q2(x) + (2n+1)] + 1
= (X-1)2Q2(X) + (2n+1)x - 2n
=> c = 2n+1; d = -2n (題目裡的 (c) (d) 剛好寫反了)
=> a+b+c+d = 2 => (e) 對

如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.