當二次函數y=ax²＋bx＋c當中的a趨近於零時？

Question

本人當今高一，在上二次函數的時候有上到是說|a|愈小開口會愈小，爬升(或下落)的速度會愈慢，是說當y=ax²+bx+c的a愈來愈小愈來愈小，小到趨近於0的時候會？
我是從圖來看，當a不會很小的時候圖會長這樣"∪"，但是當a很小的時候會變成"︶"，是不是當趨近於0的時候，會變成一條很像水平線，但是....若a趨近於0的時候，式子不就變成很像y=bx+c變成一條斜直線？
但是如果用配過方後的式子來看y=a(x-●)²+▲.....(偷懶一下)
這樣看起來確實是y=▲像是一條水平線，但是明明是同一條式子啊？
是我觀念錯了嗎？還是？...請各位大大幫本人解答一下謝謝

知識＋好像沒辦法顯”聯集”的符號，改一下
當a不會很小的時候圖會長這樣"U"，但是當a很小的時候會變成"︶"，

回"天零"大大
本人的y=a(x-●)² ▲是由y=ax² bx c配方得來的..
　　 -b
●＝－－
　　２a
　　b²-4ac
▲＝－－－
　　 4a
只是本人搞不清楚為什麼由y=ax² bx c和y=a(x-●)² ▲看起來不一樣

本人可以再問一個問題嗎？
會問這個問題是因為在無窮等比那裡玩到瘋了...."Orz
所以想問是說，當一條二次函數的a從1變成0.1變成0.01變成0.001.....
（ｌｉｍ 1*(0.1)^n）
　n→∞ 　　　　

一直到十分趨近於0的時候...圖進展到最後會如何，本人是這樣想的，就是當a真的很小很小很小很小到非常小的時候的時候圖仍然為一個要放很大很大才看得到的拋物線？

Answer 1

這是一個很好的問題
足見你有認真在思考

由 y=ax²+bx+c 來看
當 a -> 0, y = bx + c 是一條斜的直線 (除非 b = 0, 變成水平線)
由配方後的式子 y = a(x-p)²+q 來看
當 a -> 0, y = q 是一條水平線

重點在於 "你看到的祇是結果, 你忽略了過程"
你知道 p, q 的值是什麼嗎?
p = -b/(2a), q = - (b^2-4ac)/(4a^2)
當 a -> 0, x-p -> 無限大
0 * (無限大) = 未知數 ...

另一方面, 當 a= 0, 一開始就不能配方 (-b/2a 無意義)
起頭就錯, 後面就不用說了

這個也給你一個提醒
不要以為答案對 就是對
有可能你在計算過程中錯了兩次
結果幸運地變成對的

例如 [根號(-2)*根號(-3)]/[根號(-5)*根號(-7)]
= 根號[(-2)*(-3)]/根號[(-5)*(-7)]
= 根號(6)/根號(35)
= 根號(6/35)

答案是對的, 可是過程是錯的.
你知道錯在那裡嗎?

如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

後來本人做出一個結論，當a無限小到趨近於0時，會是一條斜直線
因為頂點會在負的無限大那裡，所以找不到......所以自然就不會有看起來像是水平線的圖(因為根本無從配方，所以找不到頂點)
所以會是一條斜直線......

Answer 3

我想你所謂的趨近於0並非極限上的趨近於0，只是a是很小很小的定值吧！？
那麼你要的答案很簡單，
既不是斜直線，也不是水平線，仍然是U形拋物線，
只不過要尺度很大的座標軸才看得出它這個超大的U形線。
以下是我用Graphmatica數學繪圖軟體對y=0.01x^2畫的六張圖，
注意它們x軸每一格代表的距離是不同的：

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1506122806823.GIF

這六張圖x的範圍分別是-2到2、-4到4、-8到8、-15到15、-30到30、-60到60，
你可以看出來一開始它接近是水平線，後來逐漸放大，依然呈U形線，
事實上，只要x的範圍夠大，不過a值多小，它都會是碗形的，只是這個碗大或小而已。
a很小時，你會認為y=a(x-●)+▲應該接近水平線，y=ax^2+bx+c接近斜直線，
同一個方程式，既是水平線，又是斜直線，怎會這樣？
可是你卻忽略了，即使a再小，x卻可以任意大，
這會使得ax^2和a(x-●)都不再接近0，而變成很大的數，
於是，y=a(x-●)+▲不再是水平線，y=ax^2+bx+c不再是斜直線，
通通變回拋物線，所以，並無矛盾。


2006-12-29 11:37:13 補充：
可是你卻忽略了，即使a再小，「仍然是固定值」，而x卻可以任意大，

2006-12-29 20:17:33 補充：
不同範圍的圖，就用藍色粗線分割，但它們其實是同一條拋物線。

2006-12-29 20:22:12 補充：
|x|越大時，y值增減得越快，但是當|a|很小很小時，這種增減小到你幾乎看不出來。

Answer 4

y=a(x-●)²+▲
展開後
y=a(x²-2●x+●²)+▲
y=ax²-2a●x+a●²+▲
原式↓
y=ax²+bx+c

b=-2a●
c=a●²+▲

當ａ趨近於零的時候
a=b=c=0

y=▲ ←水平線

就是這樣