微積分判別區間凹面向上'凹面向下問題

Question

1.令f(x)=-2x^3+6x+30,試問f的圖形在
a.何區間凹向上?

b.在何區間凹向下?


2.令f(x)=-3x^3+36x+10000,試問f的圖形在
c.何區間凹向上?

d.在何區間凹向下?

Answer 1

對任意函數 f(x)
f'(t) = 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極值
f''(t) < 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極大值, 凹向下
f''(t) > 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極小值, 凹向上
f''(t) = 0 ==> 函數在該點 (x=t) 是反曲點

f(x)=-2x^3+6x+30
f'(x) = -6x^2 + 6
f''(x) = -12x
f''(0) = 0 => f(0) = 30 是反曲點
f''(x) < 0, 當 x > 0 => x > 0 圖形凹向下
f''(x) > 0, 當 x < 0 => x < 0 圖形凹向上

f(x)=-3x^3+36x+10000
f'(x) = -9x^2 + 36
f''(x) = -18x
f''(0) = 0 => f(0) = 10000 是反曲點
f''(x) < 0, 當 x > 0 => x > 0 圖形凹向下
f''(x) > 0, 當 x < 0 => x < 0 圖形凹向上

如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

三次方求區間凹口方向就須用到微分了~

Q1:
對 - 2x^3+6x+30微分= - 6x^2+6
假設其等於0以求得此圖形的有限最大與最小值
-6x^2+6=0
x=+1,-1
x在+1時有有限最大值其值等於x=1代回方程式=-2*1^3+6*1+30=34
x在-1時有有限最小值其值等於x=-1代回方程式=2-6+30=26
而根據其最高項係數<0為負的所以此方程式圖形最後必定往下走
而呈現類似上下顛倒的英文字母N的走向

要求凹口上下的區間則再將 -6x^2+6微分以求得反曲點
(-6x^2+6)'=-12x
假設其為0
-12x=0
x=0
如此可知道
x=-∞ ~ x= 0 →開口朝上
x=0 ~ x=∞ →開口朝下

中文版:
x從負的無窮大到x=0圖形開口是朝上的而從x=0到x無窮大開口是朝下的


Q2:
做法與Q1相同且最高項係數也是<0負的所以圖形也是
上下顛倒的英文字母N
所以我就不再說了它的相關答案是:

有限最大值:在x=2時=10048
有限最小值:在x=-2時=9952
反曲點:x=0,y=10000
區間: x=-∞ ~ x=0 開口朝上
x=0 ~ x=∞ 開口朝下
中文版:
從x等於負的無窮大到x等於零開口是朝上的
從x等於零到x等於無窮大開口是朝下的