Determine a condição para que ax^2+bx+c seja um polinomio quadrado perfeito?

Answer 1

Parto do pressuposto que você sabe o que é um "quadrado perfeito" e que tenha algum conhecimento a respeito da resolução de equações polinomiais do segundo grau.

Para que toda equação do 2º grau na forma f(x) = a.x² + b.x + c seja um polinômio quadrado perfeito, devemos "impor" a seguinte condição:

- Existe "uma e somente uma raíz" como solução para o polinômio em questão (raíz única). Portanto, como é sabido, para que isto ocorra, "Delta" deve ser igual a zero.

Delta = b² - 4.a.c = 0
Logo:
b² - 4.a.c = 0
b² = 4.a.c
b = sqr(4.a.c) = 2 sqr(a.c)
_____________________________
Como não foi especificado no problema qual o tipo de relação se quer, continuemos a estabelecer possíveis relações:

Digamos que "x" seja a raíz única dessa equação. Portanto, ainda genericamente, teremos:

x = [-b +- sqr(Delta)] / 2.a

Substituindo o valor de b achado e considerando sqr (Delta) = 0, teremos:

x = - 2.sqr(a.c) / 2.a
x = - sqr(a.c) / a

Portanto, recapitalando o que temos até agora:
x = - sqr(a.c) / a; portanto:
x² = (a.c) / a² = c / a
e
b.x = 2.sqr(a.c).[-sqr(a.c)] = -2.a.c

Se substituirmos o equivalente de "x" encontrado acima na equação genérica f(x) = a.x² + b.x + c, teremos:

f(x) = a.(c / a) + [-2.a.c] + c
f(x) = c - 2.a.c + c
f(x) = 2.c - 2a.c
f(x) = 2.c.(1 - a)

Answer 2

A condição para que o ax2 + bx + c seja um polinômio quadrado perfeito é que Δ = 0.
Assim b2 - 4ac = 0 b2 = 4ac b = √4ac . A condição necessária é, então: b = 2√ac

Answer 3

(x-m)^2 =0
x^2 - 2mx+m^2 =0 (eq 1)

ax^2+bx+c=0
x^2+(b/a)x+(c/a)=0 (eq 2)

Comparando (eq 1 e 2)
b/a = -2m (eq 3)
c/a = m^2 (eq 4)

(eq 3):
m = -b/(2a) (eq 5)

(eq 4):
m = +- Raiz quadrado de [(c/a)] (eq 6)

-b/(2a) = +- [(c/a)]^(1/2)
b = +- 2a* [(c/a)]^(1/2)

Answer 4

Para que um Trinômio seja um Trinômio do Quadrado perfeito:

2 . [(V ax²) . (V c)] = bx

O produto das raizes quadradas dos extremos (ax²) e (c) multiplicado por 2 deve ser igual ao termo central (bx).