請幫我解這題數學邏輯題目

Question

隨便寫下一個0和1組成的數列，假如連續兩個數字相同的話，在它們下面寫個0，否則寫個1，重複這過程到只剩下一數字，這數字是什麼？有沒有辦法一開始就知道最後的結果？

需要過程與解答!!

Answer 1

看 1 的個數, 如果是奇數個 1, 則答案是 1.如果是偶數個 1, 則答案是 0.
歸納法證明
個數 = 1 時
0 => 偶數個 1, 答案是 0.
1 => 奇數個 1, 答案是 1.
成立

假設個數 = k 時成立

當個數 = k+1 時
(a) 已經有奇數個 1, 目前答案是 1.
第 k+1 數是 0 => 最後答案是 1, 全部有奇數個 1.
第 k+1 數是 1 => 最後答案是 0, 全部有偶數個 1.
(b) 已經有偶數個 1, 目前答案是 0.
第 k+1 數是 0 => 最後答案是 0, 全部有偶數個 1.
第 k+1 數是 1 => 最後答案是 1, 全部有奇數個 1.

=> 個數 = k+1 時也成立

Answer 2

個人看法：
解法為：原數列有n項，就推出第n層的巴斯卡三角形取其中的奇數項，
有奇數個1：結果為1；有偶數個1：結果為0
例如：
100111001
有9項→第九層為：1,8,28,56,70,56,28,8, 1
所以要看第1、第9項
11→0
原因：
可以把最後的答案當作是巴斯卡三角形的第一層數：1
如果數列有n項，第n層的係數就代表各項對於結果的影響次數
因為
1→1,1：代表結果為上2項各影響1次
→1,2,1：代表結果為上3項各影響1次、2次、1次
…
又因為累積2次就等於沒影響，所以看奇數係數項就可以了

Answer 3

我也發現跟巴斯卡三角有關,可我不會證明><
我的想法是:
例如寫一7位數1001011
則對應巴斯卡三角第7階的各項係數1,6,15,20,15,6,1
將1001011依序乘上各項係數
1*1 + 0*6 + 0*15 + 1*20 + 0*15 + 1*6 + 1*1=28...為偶數
則最後結果為0
反之若為奇數則答案為1

Answer 4

提示：答案與巴斯卡三角形有關。

Answer 5

假如連續兩個數字相同的話，在它們下面寫個0
--------------------------------------------------------------------------
不太確定以上這個條件的意思
所以我會想
１１１＞＞＞００＞＞０
？？？？
哪裏不合條件嗎
還是誤會題目的意思了？