難題.><.三次代數的題目..(詳內)

Question

已知有三正實數滿足
三數之和 = x
三數之平方和 = y
三數之立方和 = z
問: x,y,z滿足哪些限制時, 此三數可以圍成一面積為正的三角形??

P.S.:感覺這題似乎是用逐一討論的感覺...但我還是不知道從何著手,請高手指點一下..謝謝

to: JJ
我把我的一些想法po在這一下...除了你這些條件外,我還有找到一些限制...
由海龍公式得出三角形面積大於 0 可以推得x^3 - 6xy 8z < 0

再來還有我用柯西不等式...因為a,b,c都是三正實數所以應該要滿足
( x^2 y^2 z^2 )(1^2 1^2 1^2) ≧ (x y z)^2
所以 y ≧ ( x^2 / 3 )
由柯西我也找到 xz ≧ y^2

但是我比較有疑問的是...滿足這些條件(你的答案 我的)
就可以確定此三數必能圍成一個面積大於0的三角形嗎??

( x^2 y^2 z^2 )(1^2 1^2 1^2) ≧ (x y z)^2
所以 y 大於等於 ( x^2 / 3 )
由柯西我也找到 xz 大於等於 y^2
yahoo怪怪的..有些符號會打不出來

還有哪些高手可以幫忙的嗎..><..

Answer 1

拋磚引玉 試試看

假設三數為 a, b, c > 0
所以 x > 0, y > 0, z > 0 ..... (1)
a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)
=> y = x^2 - 2(ab+ac+bc)
=> ab+ac+bc = (x^2 - y)/2 > 0 => x^2 > y ..... (2)

(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc
x^3 = z +3x[(x^2 - y)/2] - 3abc
abc = (1/6)x^3-(1/2)xy + z/3 > 0
=> x^3 - 3xy + 2z > 0 ..... (3)

圍成一面積為正的三角形 則
a + b > c, a + c > b, b + c > a
(a+b-c)^2 > 0 => a^2+b^2+c^2+2(ab-bc-ac)>0
(b+c-a)^2 > 0 => a^2+b^2+c^2+2(bc-ab-ac)>0
(a+c-b)^2 > 0 => a^2+b^2+c^2+2(ac-ab-bc)>0
三式加起來得
3(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+ac+bc)>0
=> 3y - 2[(x^2 - y)/2] > 0
=> 4y - 2x^2 > 0
=> x^2 < 2y ..... (4)

所以 x > 0, y > 0, z > 0, y < x^2 < 2y, x^3 - 3xy + 2z > 0