統計-常態分配

Question

常態分配母體為無限多
某班的數學成績為常態分配
但班級人數為有限.怎麼能說是常態分配?

Answer 1

我不清楚您要問的是語言使用上的問題、這句話與您觀察到的現象不符，還是統計學上的定義，我分別敘述如下：

當我們說「某個變數（例如：某班學生的數學成績）是某種分配（例如：常態分配）」的時候，通常有幾種可能的意思：

1. 統計學上的抽樣：
假設全國所有高二學生的數學能力是一個常態分配（這個母體也不是真的無限多，我稍後會稍微解釋一下理論分配與實徵分配的概念），那麼某班某次數學考試的結果便是從這個母體抽樣的結果。這個抽樣如果實際的反映出母體的分配，那麼理論上它也應該是個「常態分配的抽樣分配」，然而實際上由於種種的干擾（比方說考題出的太難、這個班是資優班等等），這個抽樣結果可能長得不像常態分配。

2. 理論分配與實徵分配
嚴格來說，我們事先並不知道某件事情「就是某個分配」，而是經由實際的觀察與分析，或是理論上的推導與假設，然後以某種數學函數（機率密度函數, probability density function）來描述我們所關心的事件（像是考試成績、等公車的時間、樂透彩開獎的號碼等等）。
而這些數學函數，可以是完全來自觀察結果（實徵分配, empirical distribution），也可以是根據某些假設（理論分配, theoretical distribution, 像是 normal distribution, Poisson distribution....等等）；前者由於使用上比較不便（必須用所有的觀察資料來描述一個事件），使用上的頻率遠低於後者。以常態分配為例，如果我們假設某個事件是屬於常態分配，那麼我們只需要知道平均數跟變異數就可以描述整個事件，而不必知道每個點發生的機率。（而在眾多的理論分配當中，又以常態分配最為常用。如果您學過中央極限定理（central limit theorem），便會知道原因了。）

因此，「某班的數學成績為常態分配」，所指的可能是這是從某個常態分配母體的抽樣（比方說全校或全國同年齡學生的數學能力），或是說這句話的人在理論上做了「這個班級學生的數學能力應該是屬於常態分配」的假設，而與人數多寡無關。

附帶一提，機率、統計學上的許多概念，都是基於「無限大」或是 「長遠來說」(in the long run) 這種抽象的概念，但是任何實際的問題都不可能是「無限」的（不然就不會是「實際」了）。使用這些理論上的數學函數，可以讓我們更容易分析現實世界的種種現象，但是這並不意味著現實世界就必須完全跟理論所描述的相同（說到這裡好像有點離題了）。

經濟學大師凱恩斯，在理論及實務上都曾有過重大的貢獻，他曾說： "in the long run, we are all dead."（「長遠」來說，我們就都死了）， 或許可以作為一個不錯的註腳。

Answer 2

依據大數法則...
當n(樣本數)趨近於30的時候就可以使用常態分配...
這是一般大家都會這麼做的