求兩切點距離

Question

過(1,3)對圓 x^2 + y^2 = 2 作切線 ，求二切點之距離 ?
多謝大大

Answer 1

圓 x^2 + y^2 = 2
圓心為(0,0),半徑 = 2^(1/2)
(1,3)到(0,0)距離 =(1^2+3^2)^(1/2)=10^(1/2)

假設切點為(x,y)
因為題目要求的是兩切點
所以我們可以知道
[切點(x,y)到(1,3)的距離 ]^2
=[(1,3)到(0,0)距離]^2 - 半徑^2
=10-2
=8

所以 (x-1)^2+(y-3)^2 = 8........(1)
又切點為圓上一點,所以x^2 + y^2 = 2.......(2)
由(1)(2)整理可得 2x+6y = 4----> x=2-3y代回(2)
(2-3y)^2+y^2 = 2
10y^2- 12y+2 = 0
解得 y= 1/5 或 1
當 y = 1/5 時，x=7/5
當 y = 1 時，x= -1
所以切點為(-1,1)及(7/5 , 1/5)

兩切點的距離
= [(7/5+1)^2 +((1/5) - 1)^2]^(1/2)
= 4*[10^(1/2)]/5................(解答)

ps:抱歉,因為新知識使用根號的話都會變成亂碼，所以我用^(1/2)來代替,請多見諒!!

Answer 2

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006122707080.GIF

切線一條為y=-7x+10，切於點(7/5,1/5)；另一條為y=x+2，切於點(-1,1)
雖然如此，這題其實不必把切線方程式和切點算出來也可解答的，
所以以上只是提供答案，並不提供計算過程。

以下是計算兩切點距離的方法：
如上圖，PA、PB是切線，A、B是切點，O是圓心。
圓心O座標(0,0)，半徑為根號2，PO距離=根號(1^2+3^2)=根號10
直角三角形POA符合畢氏定理，
故PA=根號(PO^2-OA^2)=根號(10-2)=根號8，
sin角POA=根號8/根號10=根號(4/5)，而角AOB=2*角POA
故根據兩倍角公式，cos角AOB=1-2(sin角POA)^2=1-2*(4/5)=-3/5

根據餘弦定理，在三角形AOB中，
(切點AB的距離)^2
=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos∠AOB
=2+2-2*根號2*根號2*(-3/5)
=32/5
故切點AB的距離=根號(32/5)=(4/5)*根號10

Answer 3

代切點弦公式得切點弦方程式為x+3y=2
再帶（點到直線距離公式）即可得【圓心到切點弦距離】
再利用畢氏定理
(半徑)^2 – (圓心到切點弦距離)^2 = (所求二切點之距離一半)^2

又或者利用面積相等
圓心(0,0)與(1,3)與任一切點構成一直角三角形，半徑與切線段長為兩股，
斜邊為圓心與(1,3)連線段，則所求二切點距離即為 (斜邊上之高的兩倍)。

2006-12-28 00:21:57 補充：
若需求切點請利用圓方程式與切點弦方程式解聯立之

2006-12-28 00:25:28 補充：
亂碼 – 是減號的意思

Answer 4

先假設過點(1,3)且與圓C:x^2+y^2=2 相切的直線方程式為:
(y-3)=m(x-1) →點斜式
整理得: mx-y+3-m=0

再根據切點到圓心的距離等於半徑就可以解出兩條方程式:
圓C:x^2+y^2=2 →圓心=(0,0) 半徑= 2^0.5 (根號2)
則
2^0.5= (｜0x-0+3-m｜) / (m^2+(-1)^2)^0.5

移項後得: (2m^2+2)^0.5=｜(3-m)｜
兩邊一起平方得: 2m^2+2=9- 6m+m^2
整理得: m^2+6m-7=0
十字交得:m=1,-7

所以這兩條與圓C相切的方程式是:
(1) x- y+2=0
(2) -7x- y+10=0 → 7x+y-10=0

方程式(1)與圓C解聯立求出切點(1)
(1) x=y-2 代入圓C方程式
(y- 2)^2+y^2- 2=0
y^2- 4y+4+y^2- 2=0
2y^2- 4y+2=0
y^2- 2y+1=0
y=1,x= - 1

切點(1)=(-1,1)

(2): y=10-7x 代入圓C
x^2+(10-7x)^2- 2=0
x^2+100-140x+49x^2- 2=0
50x^2-140x+98=0
25x^2-70x+49=0
x=7/5 , y=1/5

切點(2)=(7/5 , 1/5)

求切點(1)(2)距離:
[(-1-7/5)^2+(1-1/5)^2]^0.5=(160/25)^0.5=4(10)^0.5/5

ANS:切點(1)(2)距離=4(10)^0.5/5 = 5分之4根號10
=4乘以根號10除以5