數學--高中三角函數的問題

Question

高中數學問題
1.試求不等式(x^2+y^2-2)(x^2+y^2-2x)小於等於0所表示的區域面積
(我算到一半，面積求不出來...)

2.為啥cos2θ+√3 sin2θ的範圍在正負2之間

3.設A(1，0)，B(-1，0)且P(x，y)為(x-3)^2+(y-4)^2=4上一點，試求AP長度平方+BP長度平方之最大值與最小值

2.為啥cos(2theta) (根號3 )*sin(2theta)的範圍在正負2之間

2.為啥cos(2theta) (根號3 )*sin(2theta)的範圍在正負2之間

2.為啥cos(2theta) (根號3 )*sin(2theta)的範圍在正負2之間

2.為啥cos(2theta) 加 (根號3 )*sin(2theta)的範圍在正負2之間

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1506122600451.GIF

1.
x2+y2-2=0是圓心A(0,0)，半徑根號2的圓(左邊大圓)；
x2+y2-2x=0是圓心B(1,0)，半徑1的圓(右邊小圓)
兩圓交於點P(1,1)和點Q(1,-1)，
因為三角形PAQ三邊長分別為根號2、根號2、2，因此它是一個等腰直角三角形，
亦即扇形PAQ面積(綠色弓形+藍色三角形)恰好是圓A(左圓)面積的1/4，
另外，PQ剛好是圓B(右圓)的一條直徑，故整個藍色半圓的面積是圓B面積的1/2。

(x2+y2-2)(x2+y2-2x)小於等於0，表示：
x2+y2-2大於等於0 且 x2+y2-2x小於等於0 → 在圓A的外面且在圓B的裡面→右邊黃色小月亮
或
x2+y2-2小於等於0 且 x2+y2-2x大於等於0 → 在圓A的裡面且在圓B的外面→左邊黃色大月亮
所以要求的面積就是圖中全部黃色的部份(左右兩個月亮)。

先把藍色半圓和綠色弓形面積求出來。
綠色弓形=(1/4)圓A-三角形PAQ=(1/4)*拍*(根號2)2-(1/2)*根號2*根號2=(拍/2)-1
藍色半圓=(1/2)圓B=(1/2)*拍*12=拍/2

所以右邊月亮=(1/2)圓B-綠色弓形=拍/2-(拍/2-1)=1
所以左邊月亮=圓A-藍色半圓=拍*根號2*根號2-(拍/2)=2拍-(拍/2)=(3/2)拍
圖中全部黃色的面積=右月+左月=1+(3/2)π。

2.
你的theta我用x代表好嗎？
cos(2x)+根號3sin(2x)
=根號[12+(根號3)2]*[1/根號[12+(根號3)2]*cos(2x)+根號3/根號[12+(根號3)2]*sin2x
=2*[(1/2)*cos(2x)+(根號3)/2*sin(2x)]
==2*[cos60度*cos(2x)+sin60度*sin(2x)]
=2*cos(60度-2x)
因為cos(60度-2x)的範圍在-1到1之間，乘以2就放大2倍，
所以原式的範圍在-2到2之間。
這稱做正餘弦函數的疊合原理：
(a*cosx+b*sinx)的最大值是根號(a2+b2)，最小值是-根號(a2+b2)。

3.
A(1,0)，B(-1,0)且P(x,y)為(x-3)2+(y-4)2=4上一點，設P座標為(3+2sinx,4+2cosx)，
則AP長度平方+BP長度平方
=(2+2sinx)2+(4+2cosx)2+(4+2sinx)2+(4+2cosx)2
=[4+8sinx+4(sinx)2]+[16+16sinx+4(sinx)2]+2*[16+16cosx+4(cosx)2]
=8(sinx)2+8(cosx)2+24sinx+32cosx+52
=8[(sinx)2+(cosx)2]+24sinx+32cosx+52
=8*1+24sinx+32cosx+52
=24sinx+32cosx+60

√(242+322)=40，根據正餘弦函數疊合原理，(24sinx+32cosx)最大值是40，最小值是-40，
所以所求最大值=40+60=100，最小值=-40+60=20

2006-12-31 12:14:12 補充：
啊！抱歉，老眼昏花
所以左邊月亮=圓A-藍色半圓-「綠色弓形」=拍*根號2*根號2-(拍/2)-(拍/2-1)=2拍-(拍/2)-(拍/2) 1=拍 1
圖中全部黃色的面積=右月 左月=1 (拍 1)=2 拍。

第一題答案是2 π。

2006-12-31 12:21:41 補充：
唉！新系統......居然忘了它補充答案時，加減號會出問題......
所以左邊月亮=圓A一藍色半圓一「綠色弓形」=拍*根號2*根號2一(拍/2)一(拍/2一1)=2拍一(拍/2)一(拍/2)十1=拍十1
圖中全部黃色的面積=右月十左月=1十(拍十1)=2十拍。

第一題答案應該是2加π。

Answer 2

我回答一題好了
1.我覺得打錯了吧!(不然我也不會..0.0)
應該是X^2+Y^2-2^2吧!
(應該我遇到相同的題目= =)