作圖：已知直線L與兩點A、B，試作一圓過AB兩點並切直線L

Question

已知：一直線L與AB兩點，其中AB兩點與不在L上，且AB兩點於L同側。
求作：一圓切直線L且使AB兩點在圓上。

畫個簡圖：
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxB●
xxxA●

______________________________ L

(因為問題內容裡不能使用空格。xxxxxx....請當作沒看到，那是為了代替空白使用的)

請寫出作法，如果能畫出圖形最好。

如果 OD <> OA
小於大於？
對不起，我不懂您的意思。

在 L 上取點 D 使得 CD^2 = CA*CB
尺規做圖沒有辦法這樣做出來吧？

在 L 上取點 D 使得 CD^2 = CA*CB
把 CA CB 當直徑 (A-C-B) 畫半圓, 由C做垂線交圓周於D
D 即為所求
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我知道母子定理（直角三角形 (直角頂點上的高)^2 = 垂足點至兩邊距離的乘積），但我還是看不懂怎麼畫。

Answer 1

http://s121.photobucket.com/albums/o240/jliawtw/?action=view¤t=cir.jpg

作法:
a) 如果 AB 平行 L (此部分自行畫圖即可)
1. 做 AB 中垂線 L' 交 L 於 C, 連 AC
2. 做 AD 垂直 AC 並交直線 L 於 D
3. 以 CD 為直徑畫圓即為所求 (圓心 O 在 CD 中點)

證明:
1. OC 垂直直線 L 並交直線 L 於 C => 直線 L 是切線
2. AD 垂直 AC => A 在圓周上 (因為半圓的圓周角 = 180)
3. OA = OB (因為中垂線上的點到兩端點等距離) = OC
所以 圓 O 過 A, B 兩點並與 L 相切

b) 如果 AB 不平行 L (可以假設 A 比較靠近 L, 請參照圖)
1. 做 AB 中垂線 L'
2. 延長 BA 交 L 於 C
3. 在 L 上取點 D 使得 CD^2 = CA*CB
4. 做 OD 垂直 L 並交直線 L' 於 O
5. O 為圓心, OD 為半徑即為所求

證明:
1. OD 垂直直線 L 並交直線 L 於 D => 直線 L 是切線
2. OA = OB (中垂線性質)
3. 如果 OD <> OA => OD = OA' = OB' (AA' = BB') 或 OD = OA'' = OB'' (AA'' = BB'')
根據弦切線性質 CD^2 = CA' * CB'
已知 CD^2 = CA*CB
所以 CA*CB = CA' * CB'
= (CA - AA')*(CB + BB')
= (CA - AA')*(CB + AA')
= CA*CB - (AA')^2
=> AA' = 0
同理可證
如果 OD = OA'' = OB'' (AA'' = BB'')
=> AA'' = 0
所以 OD = OA = OB
即 圓 O 過 A, B 兩點並與 L 相切

附記: 在 L 上取點 D 使得 CD^2 = CA*CB
此步驟留做練習
提示:
1. 直角三角形 直角頂點上的高
2. 半圓的圓周角 = 180

2006-12-30 17:28:36 補充：
1. 在vb程式上 <> 就是不等於的意思
抱歉 我也是電腦程式設計師
寫習慣了

2. 在 L 上取點 D 使得 CD^2 = CA*CB
當然是可以作出來的
性質: 直角三角形 (直角頂點上的高)^2 = 垂足點至兩邊距離的乘積
性質: 半圓的圓周角 = 180
把 CA CB 當直徑 (A-C-B) 畫半圓, 由C做垂線交圓周於D
D 即為所求

Answer 2

終於懂了~謝謝。
發問者評價：5個燈泡
嘻~

Answer 3

我先跟你說作法~~
過程等我等一下有空再補上~~

做AB的中垂線

將此中垂線化成參數式(而此參數設為圓心)

之後使用 d(C,L) = d(C,A) (C為圓心)

將解出來的參數( t )代回，即得圓心

再求AC的距離即得半徑

有圓心有半徑...你應該會寫圓方程式了吧~~

2006-12-26 20:08:09 補充：
AB中垂線作法如下
設A(x',y')，B(x",y")
根據中垂線到兩點距離相等~~
即 d(P,A)=d(P,B) (P為中垂線上任一點(X,Y))
(X-x')^2 ┼ (Y-y')^2 = (X-x")^2 ┼ (Y-y")^2
將上式化簡即得中垂線方程式

2006-12-26 20:19:31 補充：
假設 L：ax┼by┼c = 0
圓心座標為 (ht,kt) (其中 t 為參數，h,k為常數(已知數))
A點座標為 (x',y')

d(C,L) = d(C,A)
│aht┼bkt┼c│／根號(a^2┼b^2) ＝ 根號((ht-x')^2┼(kt-y')^2)
化簡解出 t 代回圓心座標

2006-12-28 12:55:50 補充：
幫JJ老師回答~~
<>就是"不等於"的寫法
我記得那應該是VB的寫法吧...