問2題三角測量的數學~~

Question

第一題
在東西向道路上
ABC三點
觀測位於A之正北方一塔頂
測得仰角分別為60度45度30度
試證B為AC線段之中點

第二題
東西向道路上
ABC三點
觀測道路北方一山
測得山頂D的仰角
分別為30度45度60度若ab線段=bc線段=600公尺
求山高
要附上圖形跟算式噢~~~謝謝各位大大^Q^

老師這題也要麻煩你了~~
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1006122502142
謝謝^皿^~~~!!!!

這2題好難!!我還是不會看不懂
該怎麼辦~~~~~~~~~~~~~~~~~!!

謝謝2位大師~雖然這2題我還是都不會!!( ° △ °|||)
交付投票~~!!

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1506122502173.GIF

1.
見圖一，紅色線段DE是塔，設DE=x，
三角形DEA、DEB、DEC都是直角三角形，角E是直角，
(立體圖畫得不好，盡量想像它們是直角三角形吧！)
60度、45度、30度都是特殊角，因為DE=x，可反推AE=x/√3，BE=x，CE=(√3)x，

圖二則是其平面圖，
三角形AEC是直角三角形，符合畢氏定理，
故AC=√(EC^2-AE^2)，
AC=√[(√3x)^2-(x/√3)^2)]=√[3x^2-(1/3)x^2)]
=√[(8/3)x^2)]=√[(24/9)x^2)]=(2√6)/3*x

三角形AEB是直角三角形，符合畢氏定理，
故AB=√(EB^2-AE^2)，
AB=√[x^2-(x/√3)^2)]=√[x^2-(1/3)x^2)]
=√[(2/3)x^2]=√[(6/9)x^2)]=(√6)/3)*x

故AC=2AB，又，BC=AC-AB=2AB-AB=AB，
因為AB=BC=(√6)/3)x，所以B是AC的中點。

2.
這題沒說山是在誰的正北方，也許是A，也許是B，也許是C，也許都不是，
事實上是C的正北方(這一點容後再證明)，所以圖形跟第一題左右顛倒而已，
也就是A、C位置左右顛倒，AE、CE長度互換，其他長度不變(如圖三)，
利用第一題的結論，AB=(√6)/3)x=600
解得山高=x=300√6

山(E點)為何在C的正北方？(角ECB為何是直角？)
這是利用三角形中線性質證明出來的。
如圖四，在三角形PQR中，線段PM是QR邊的中線，
則PQ^2+PR^2=2*PM^2+2*RM^2
(為了避免與圖三混淆，各點代號換為P,Q,R,M)

證明：
根據餘弦定理，
角PMQ=(PM^2+QM^2-PQ^2)/(2*PM*QM)，
角PMR=(PM^2+RM^2-PR^2)/(2*PM*RM)，
但角PMR=角(180度-角PMQ)=-角PMQ，
所以(PM^2+QM^2-PQ^2)/(2*PM*QM)=-(PM^2+RM^2-PR^2)/(2*PM*RM)，
又QM=RM，化簡可得
PM^2+QM^2-PQ^2=PR^2-PM^2-RM^2
→PQ^2+PR^2=2PM^2+QM^2+RM^2
→PQ^2+PR^2=2PM^2+2QM^2
得證。

根據此性質，在三角形AEC中，AE^2+EC^2=2*BE^2+2*BC^2
(√3x)^2+(x/√3)^2=2*x^2+2*600^2
(4/3)x^2=720000，x=300√6

cos∠ECB
=(EC^2+BC^2-BE^2)/(2*EC*BC)
=[(x/√3)^2+600^2-x^2]/[2*(x/√3)*600]
=[360000-(2/3)x^2]/(1200x/√3)
將x=300√6代入
=0/(360000√2)
=0
故cos∠ECB=90度，得證！！

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

http://s121.photobucket.com/albums/o240/jliawtw/?action=view¤t=measure.jpg

1. 設塔底為 D 點, 塔高 x.
根據仰角分別算出 AD = x/(根號 3), BD = x, CD = (根號 3)*x
因為塔位於A之正北
所以 AD 垂直 AC
=> AB^2 = BD^2 - AD^2 = x^2 - (x^2)/3 => AB = [根號 (2/3)]x
=> AC^2 = CD^2 - AD^2 = 3*x^2 - (x^2)/3 => AC = [2根號 (2/3)]x
=> AC = 2AB
=> B 為 AC 中點

2. 由題 1. 可以猜測山是在 C 點正北方 (證明在後面)
設山底為 D 點, 山高 x.
根據仰角分別算出 CD = x/(根號 3), BD = x, AD = (根號 3)*x
由題 1. 可以得 AB = [根號 (2/3)]x = 600
所以 x = 300*根號 (6)

證明部分:
假設 D 在 E 點正北方, DE= h.
則 E 必在 BC 中間 (如圖) 或 C 在 BE 中間
先看 E 在 BC 中間情形.
=> AE - BE = 600 = BE + CE
=> 根號[3x^2-h^2] - 根號[x^2-h^2] = 根號[x^2-h^2] + 根號[(x^2)/3-h^2]
=> 根號[3x^2-h^2] = 2*根號[x^2-h^2] + 根號[(x^2)/3-h^2]
=> 3x^2-h^2 = 4*(x^2-h^2) + [[(x^2)/3-h^2] + 4*根號[x^2-h^2]*根號[(x^2)/3-h^2]
=> 4*h^2 - (4/3)x^2 = 4*根號[x^2-h^2]*根號[(x^2)/3-h^2]
=> 3*h^2 - x^2 = 3*根號[x^2-h^2]*根號[(x^2)/3-h^2]
=> 9h^4 - 6h^2x^2 + x^4 = 3x^4 - 12h^2x^2 + 9h^4
=> 3h^2 = x^2
=> h = x/(根號 3) = CD

C 在 BE 中間情形類似
=> AE - BE = 600 = BE - CE
經過計算可得 h = x/(根號 3) = CD

得證山是在 C 點正北方