一題較難的高中數學

Question

一橢圓 : (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1

橢圓上固定一質點 P，設過 P 點與橢圓相切的切線是 T_p，
此時由 P 點向橢圓內部射出一光束 L_p，
設 L_p 與 T_p 之夾角為 θ。(取銳角)

若光束遵守彈性碰撞 (入射角 = 反射角)，
且 L_p 在撞到橢圓內壁兩次後剛好折回到 P 點 (即此光束在橢圓內部形成一三角形)。

求造成此現象時之點 P 與 θ 的關係式。

我也不知道答案是多少。

這題如果硬算第一個問題就是會碰到不好處理的計算，如何去作這些計算或是想辦法把計算變簡單呢 ?

你不用把 details 列出來，概敘一下答案出來的理由和解決計算困難的方法即可，這題如果硬算會碰到要解三次還是四次方程吧

等等，你的答案有點問題，若 a=b=1 的時候橢圓會變成圓，此時不管 P 在圓上何處，θ 永遠是 60 度。，那 tan (pi/3) = √3。

但你的答案 a,b 都用 1 代並非 √3。

你的圖有點問題，根據橢圓的光學性質，過橢圓內一焦點的光線必折射到其另一焦點。所以在你的圖中，光線過 F_1 後折回經過 F_2，過 F_2 後再折一次不會回到 P 而是再經過 F_1。

圓難道不是橢圓的一種 ? 若一公式對所有橢圓適用其必也會對圓適用 ......

To 光弟，12個這個答案似乎怪怪的，你是否假設 a 不等於 b 下去算 ? 因若 a = b 則橢圓上處處皆可為發射點。再者，我想要的答案是 P 和 θ 的關係式，因為我想這 θ 應該很難解，它是 a,b,P 的函數。

求 P 和 θ 的關係式的想法很單純，就是用 P 和 θ 來表示下一次的 P 和 θ 即可。就是算出 F_1 和 F_2 使得

F(P,θ)
= (F_1(P,θ) , F_2(P,θ))
= (L_p 第一次射到的橢圓上的點 , 過此點切線和 L_p 夾角)

若 F(P,θ) 得出則 F^[3](P,θ) = (P,θ) 即為其關係式。再想辦法證明對每個 P，θ都有解。當然若能直接解出 θ 是最好，不然我只要求把它的關係式明確的寫下即可。

那另外8個你如何算出來的 ?

你只討論了在四個端點的特殊情況而不是一般情況。
因若 P 不在那四個端點的話 (也可以說 12 個)，未必沒有適合的週期解 θ滿足此一離散動態系統在橢圓內部形成三角形。

Answer 1

會造成本題效果的發射點有12個, 其中包括長短軸的四個端點:
(a, 0), (- a, 0), (0, b), (0, - b)
設由點A(- a, 0)發射, 射到第一象限的點C(c, d), 可由兩點式求得:
AC: d x – (c + a) y = - a d
點C(c, d)之切線方程式為Tc: c x / a2 + d y / b2 = 1
C點反射出的光線必垂直X軸, 交橢圓於點D(c, - d), 其方程式為:
CD: x = c
點D之切線方程式Td: c x / a2 - d y / b2 = 1
D點反射出的光線必回到A點.
ACD為等腰△
AC 與 Tc 的夾角 = CD 與 Tc 的夾角
Tc 為 AC 與 CD 之分角線.
據此, 可求出點C(c, d)
參數式可能較省計算.
歡迎討論!

2007-01-05 13:12:28 補充：
1. 每個軸端點都對應兩個反射點, (如(- a, 0)對應(c, d)(c, - d)兩點, 形成等腰三角的路線), 只要角度適當, 反射點亦可發射.
4 x 3 = 12
2. 端點切線為: x = - a, x = a, y = b, y = - b
3. 只要找出第一反射點C(c, d), 角度問題自然解決. 因AC 與 x = - a 之夾角即為所求.
4. 提出概念, 若有人據以算出解答, 希望點數歸他.
5. 記算略繁, 正努力. 相信方向無誤.

2007-01-05 17:38:42 補充：
過(c, d)(c, - d)兩切線夾角 = 角ACD
(a c)/d = 2cd(a^2)(b^2)/[(a^4)(b^4) - (c^2)(d^2)] -->
a c = 2c(d^2)(a^2)(b^2)/[(a^4)(b^4) - (c^2)(d^2)]
d^2 = b^2 - (b^2)(c^2)/(a^2) 代入上式
可得c的一元五次方程式
必可求得一實數解 c

2007-01-05 20:21:59 補充：
過A(- a, 0)之切線 x = -a 交過C(c, d) 之切線Tc: c x / a2 d y / b2 = 1 於E(- a, e)
AE = AC , (AE)^2 = (AC)^2
e^2 = [(b^2)(a c)/ad]^2 = (AE)^2 = (AC)^2 = (c a)^2 d^2
c^4 (2ab b^2 1) c^2 – a[a^3 2(a^2)b – a(b^2 1) 2b^3] = 0
若a, b 已知, c, d 可解
光線AC與X軸夾角為θ= arctan[(c a)/d]