喵貓數學歸納法一題

Question

定義數列為3的3次方的3次方....(n個3)

例:A1=3 A2=3的3次方=27 A3=3的27次方 A4=3的(3的27次方)次方..

並定義數列為8的8次方的8次方....(n個8)

試利用數學歸納法證明:對於所有正整數n,An+1>Bn

Answer 1

由定義
A(n) = 3^A(n-1); B(n) = 8^B(n-1)
事實上
我要證明 A(n+1) > 3B(n)
這樣就可以得到 A(n+1) > B(n)
當 n = 1
A(2) = 3^3 = 27 > 3*8 = 3B(1) 成立

假設 n = k 成立 => A(k+1) > 3B(k)
n = k + 1時
A(k+2) = 3^A(k+1)
> 3^[3B(k)] = 27^B(k)
> 24^B(k) = (3*8)^B(K) = 3^B(k) * 8^B(k)
> 3*B(k+1)
所以 n = k + 1時, A(k+2) > 3B(k+1) 成立

由歸納法得證 An+1>Bn 對所有正整數n #

Answer 2

在回答中,為方便起見,我用這個方式打:A(n)=, B(n)=
<1>設n=1
則A(n+1)=3^3=27,B(n)=8,27>8(OK)
<2>設n=2
則A(n+1)=3^3^3=19683,B(n)=8^8=16777216,19683<16777216(錯)
故"對於所有正整數n,An+1>Bn"此敘述不成立