試問幾題數學難題<急>(15點)

Question

1.設P(8,5)，圓C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，試求P點到圓C的最遠距
離及最近距離並求最遠點及最近點的座標。
2.就m之值討論四平面E1：3x+5y-z=1，E2：x-y+4z=11，E3：
x+7y-9z=-23，E4：4x+20y-23z=m的相交的情形，若相交於一直
線，請寫出直線的對稱比例式：(x-2)/a=(y-d)/b=(z-e)/c
3若x+ky=10，kx-y=10+z，k屬於N有整數解，試定k之值，並求該
整數解。
4a屬於R，若x,y滿足(a-1)x+ay=1，(a+2)x+(a+3)y=2，試求
│x│+│y│之最小值，並求此時a之範圍。

抱歉喔第3題題目忘了加個k
3若x ky=10，kx-y=10k z，k屬於N有整數解，試定k之值，並求該
整數解。

3若x ky=10，kx-y=10k z，k屬於N有整數解，試定k之值，並求該
整數解。

x跟ky之間有 ，10k跟z之間有-，因為顯示不出來抱歉喔

Answer 1

1. 圓: (x-2)^2+(y+3)^2 = 16, 圓心 O (2, -3), 半徑 r = 4
P 到圓心距離 = 10, P 在圓外.
P點到圓C的最遠距離 = PO + r = 14
座標: (8 + (2-8)*(14/10), 5 + (-3-5)*(14/10)) = (-2/5, -31/5)
P點到圓C的最近距離 = PO - r = 6
座標: (8 + (2-8)*(6/10), 5 + (-3-5)*(6/10)) = (22/5, 1/5)

2. 很顯然地 四個平面 均不平行也不重合 (法向量均不同)
所以任兩平面均交於一直線
求兩兩平面相交直線的方向量
E1, E2 =>
| 3, 5, -1, 3 |
| 1, -1, 4, 1 | => (-8, 19, -13)
同理可得E1,E3 和 E2,E3 相交直線方向量都是 (-8, 19, -13)
所以三直線平行
現在要找出三直線是否重合
令 x = 2 (因為題目最後問 (x-2)/a=(y-d)/b=(z-e)/c)
解兩兩聯立方程式得
E1, E2 交點 (2, -11/19, 40/19)
E1, E3 交點 (2, -10/19, 45/19)
E1, E2 交點 (2, -1, 2)
顯然三直線不重合
再求 E4 與 E1, E2, E3 的相交直線方向量
結果也是 (-8, 19, -13)
E4 有可能與其中兩兩平面共相交於一直線
E4 與 E1, E2 => (x-2)/8 = (y+11/19)/-19 = (z-40/19)/13
E4 與 E1, E3 => (x-2)/8 = (y+10/19)/-19 = (z-45/19)/13
E4 與 E2, E3 => (x-2)/8 = (y+1)/-19 = (z-2)/13

3. 此題目似乎有錯 x+ky=10，kx-y=10+z
令 x = 1, y = 0, z = k - 10
當 k 為任意 N 時, x, y, z 都有整數解.

4. 解聯立方程式(a-1)x+ay=1，(a+2)x+(a+3)y=2
得 x = (a-3)/3, y = (-a+4)/3 代入 │x│+│y│
=> | a - 3 |/3 + | a - 4|/3 = (1/3) * (|a-3|+|a-4|)
=> 最小值在 3 <= a <= 4
=> 最小值為 1/3