送分題！座標平面上某線段之中垂線方程式之公式

Question

座標平面上有P(a,b)與Q(c,d)兩點，證明線段PQ中垂線方程式為
(a-c)x+(b-d)y=(a2+b2-c2-d2)/2。

最好是能畫圖。

看來這問題是太簡單了一點，我再補充問一個重點好了：
如果a,b,c,d都是整數，把方程式改寫成為
2(a-c)x 2(b-d)y=a^2 b^2-c^2-d^2
那豈不是說x,y的係數都是偶數了嗎？
可是事實卻又不然，x,y的係數可以都是奇數，也可以一奇一偶，如何解釋這個矛盾？

Answer 1

PQ斜率s=(b-d)/(a-c),中點M座標為M((a+c)/2,(b+d)/2),設中垂線方程式為y=ux+v,其斜率與s乘積=-1並通過M:
us=u(b-d)/(a-c)=-1, u=(c-a)/(b-d)
(b+d)/2=(c-a)(a+c)/2(b-d)+v, v=(b+d)(b-d)/2(b-d)-(c-a)(c+a)/2(b-d)=(a2+b2-c2-d2)/2(b-d)
中垂線方程式: y=(c-a)x/(b-d)+(a2+b2-c2-d2)/2(b-d),兩邊乘(b-d)後移項即 (a-c)x+(b-d)y=(a2+b2-c2-d2)/2

2006-12-24 06:06:44 補充：
2(a-c)x 2(b-d)=(a c)(a-c) (b d)(b-d)=(a-c)^2 2c(a-c) (b-d)^2 2d(b-d)
1.(a-c),(b-d)皆為偶數, (a-c)=2m, (b-d)=2n, 4mx 4ny=4m^2 4mc 4n^2 4nd,方程式變成
mx ny=m^2 mc n^2 nd, 常數項可以是任何偶數或奇數.

2006-12-24 06:07:34 補充：
2.(a-c),(b-d)皆為奇數, (a-c)=2m 1, (b-d)=2n 1, (2m 1)x (2n 1)y=4m^2 4m 1 4mc 2c 4n^2 4n 1 4nd 2d,方程式變成
(2m 1)x (2n 1)y=4(m^2 m mc n^2 n nd) 2(c d 1),常數項必為偶數.
3..(a-c),(b-d)一奇一偶,(a-c)=2m 1, (b-d)=2n, (2m 1)x 2ny=4m^2 4m 1 4mc 2c 4n^2 4nd,方程式變成
(2m 1)x 2ny=4(m^2 m mc n^2 n nd) 2c 1,常數項必為奇數.