數學問題 微機分的算法求極大 極小 值

Question

F(x) = x^3 - 3X^2 + 5 ; (-1,3) 求極大值

F(x) = x^4 - 4X^3 + 2 ; (1,4) 求極小值

lim x - ln(1 x) / x^2 = ?
x-0

lim 1 - sinx / x^2 = ?
x-0

可以給我詳細ㄉ算法ㄇ

第2題ㄉ最小值怎麼算
跟第3跟4題用羅畢達法則算ㄇ那要如何判斷 0/0跟 無窮大/ 無窮大

JJ
三四題是求值
第三題 題目是 lim x - ln(1 x) / x^2 = ? (x趨近0)
第四題 題目是 lim 1 - sinx / x^2 = ? (x趨近0)
第三題答案是 1/2嗎
可以列出詳細算法ㄇ

志宏
第三題 題目是 lim x - ln(1 x) / x^2 = ? (x趨近0)
第四題 題目是 lim 1 - sinx / x^2 = ? (x趨近0)
第三題答案是 1/2 嗎
可以列出詳細算法ㄇ

不懂
第3題 lim x - ln(1 x) / x^2 = ?
= lim 1-1/(1 x)*1 / 2x
= lim -(-1)(1 x)^-2 (1) / 2
= 1/2
第四題 lim 1 - sinx / x^2 = ?
= lim 0-cos / 2x
= lim -(sinx) / 2
= 0
這樣算對ㄇ

Answer 1

順便更正"幻影仙跡"的答案

1.
F(x) = x^3 - 3x^2 + 5
F'(x)=3x^2-6x 令其為0
得x=0或2
F(-1)=1
F(3)=5
F(0)=5
F(2)=1
所以極大值5，極小值1

2.
F(x) = x^4 - 4x^3 + 2
F'(x) = 4x^3 - 12x^2 令其為0
得x=0或3
F(1)=-1
F(4)=2
F(0)=2
F(3)=-25
所以極大值2，極小值(-25)

三四題我看不大清楚你的題目

Answer 2

對任意函數 f(x)
f'(t) = 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極值
f''(t) < 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極大值
f''(t) > 0 ==> 函數在該點 (x=t) 有極小值
f''(t) = 0 ==> 函數在該點 (x=t) 是反曲點

1. F(x) = x^3 - 3x^2 + 5; (-1,3)
F' = 3x^2 - 6x
F'' = 6x - 6
F' = 0 ==> x = 0 or 2都在區間內
F''(0) = -6 ==> 有極大值 F(0) = 5
F''(2) = 6 ==> 有極小值 F(2) = 1

2. F(x) = x^4 - 4x^3 + 2 ; (1,4)
F' = 4x^3 - 12x^2
F'' = 12x^2 - 24x
F' = 0 ==> x = 0 or 3 (0 不在區間內, 不可以算)
F''(3) = 84 ==> 有極小值 F(3) = -25
若要算最大 最小值 把端點代入做最後的比較
所以 "極大值" 也有可能比 "極小值" 小.

3. lim [x - ln(1/x) / x^2] = ? (x -> 0+)
=> lim [x + ln(x) / x^2]
= lim (x) + lim[ln(x) / x^2] (不定型, 上下微分)
= 0 + lim{[ln(x)]' / [x^2]'}
= lim[ (1/x) / (2x) ]
= lim [1/ (2x^2)]
= ∞
(請注意, x 不可以為負, 所以 x 祇能趨近 0+

4. lim 1 - sinx / x^2 = ? (x -> 0)
=> lim (1) - lim[(sinx/x)/x]
= 0 - lim(sinx/x)*lim(1/x)
= - 1 * (+/-)∞
當 x 從 0+ 趨近時為 -∞.
當 x 從 0- 趨近時為 ∞.
所以極限值不存在.

2006-12-24 13:38:35 補充：
&infin 是 00 無限大
所以第三題答案是 無限大

2006-12-29 00:37:24 補充：
必須在不定型的情況下才可以再上下分別微分

第四題 lim 1 - sinx / x^2 = ?
= lim 0-cos / 2x
到此 0-cos(0) = -1; 2x = 2*0 = 0
-1/0 不是不定型
已經是答案了

第三題的題目還是不太清楚
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 3

第一題在F(0)和F(3)有極大值5

第二題在F(1)有極小值-1

第三題答案等於1