高中數學－圓的方程式

Question

1.求過P(1, 4), Q(3, -2)兩點, 且PQ弦距離圓心為√10的圓方程式.
2.圓心在x+y=0上, 且切直線x-2y=3於點(5, 1)的圓方程式為?
3.設一圓與x軸切於點(3, 0), 且切於直線4x-3y+12=0, 則此圓的方程式為?

Answer 1

1.

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/1ofqid1006122007116.GIF

如圖，假設圓心為O，PQ中點為M，則M座標為((1+3)/2,[4+(-2)]/2)=(2,1)，
PM長=√[(1-2)2+(4-1)2]=√10，
三角形PMO恰好是等腰直角三角形，故半徑PO=√2*√10=√20
根據線段中垂線方程式性質
(http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1606122203221)，
MO方程式為(3-1)x+(-2-4)y=[32+(-2)2 -12-42]/2
MO方程式為x-3y=-1，設O座標(3t-1,t)，
OM距離=√[(3t-1-2)2+(t-1)2]=√10
10t2-20t=0，t=0或2，故圓心座標為(-1,0)或(5,2)
圓方程式為(x+1)2+y2=20或(x-5)2+(y-2)2=20

2.

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/2ofqid1006122007116.GIF

如圖，過點(5,1)且與直線x-2y=3垂直的直線方程式為2x+y=11，
圓心必為x+y=0與2x+y=11的交點，解x+y=0與2x+y=11的聯立方程組，
得圓心座標為(11,-11)，
半徑為點(11,-11)到直線x-2y=3之距離
=|11+22-3|/√(12+(-2)2)=30/√5=√180
圓方程式為(x-11)2+(y+11)2=180

3.

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/3ofqid1006122007116.GIF

該圓與x軸切於點(3, 0)，可設圓心座標為(3,t)，
圓心與點(3,0)之距離=圓心與直線4x-3y+12=0之距離(=半徑)
√[(3-3)2+(t-0)2]=|12-3t+12|/√(32+42)
→化簡得|t|=|24-3t|/5
→5|t|=|24-3t|
→24-3t=5t，則t=3 或 24-3t=-5t，則t=-12
圓心座標為(3,3)時，半徑=|t|=|3|=3，圓方程式為(x-3)2+(y-3)2=9
圓心座標為(3,-12)時，半徑=|t|=|-12|=12，圓方程式為(x-3)2+(y+12)2=144

Answer 2

1. 利用向量會較容易:
向量PQ=(3-1,-2-4)=(2,-6), 單位向量 of 向量PQ =(1,-3)/√10.So, 垂直於PQ之單位向量=(3,1)/√10 or (-3,-1)/√10.
PQ之中點=(2,1), so 圓心=(2,1)+(3,1)/√10*√10=(2,1)+(3,1)=(5,2)
or =(2,1)+(-3,-1)/√10*√10=(2,1)+(-3,-1)=(-1,0)
So, 圓方程式 (x-5)^2+(y-2)^2=(1-5)^2+(4-2)^2=20
or (x+1)^2+(y-0)^2=(1+1)^2+(4-0)^2=20

2.過(5,1)且垂直於直線x-2y=3: 2x+y=11, 此直線和x+y=0之交點即為圓心, so 圓心=(11,-11),
圓方程式 (x-11)^2+(y+11)^2=(5-11)^2+(1+11)^2=180

3.圓與x軸切於點(3, 0), so 圓心=(3,r). 半徑=|r|.
垂直於直線4x-3y+12=0 之單位向量=(-4/5,3/5), 切點=(3,r)+(-4/5,3/5)*r=(3-4r/5,8r/5) r>=0 or (3,r)+(-4/5,3/5)*(-r)=(3+4r/5,2r/5) r<0
切點需為於直線4x-3y+12=0上, so
4(3-4r/5)-3*8r/5+12=0 or 4(3+4r/5)-3*2r/5+12=0
r=3 or r=-12
圓方程式 (x-3)^2+(y-3)^2=3^2=9 or (x-3)^2+(y+12)^2=(-12)^2=144

Answer 3

1.
PQ 中點 (2, 1)
PQ 直線方程式: y = -3x + 7 (請自己求, 用兩點式) 其斜率 = -3.
所以 PQ 中垂線 斜率 = 1/3. 過中點 (2, 1).
用點斜式 ==> 中垂線方程式: x - 3y + 1 = 0 (圓心之所在)
所以圓心 (3t-1, t) 到 PQ距離 = | 3(3t-1) + t -7| / √ (3^2 +１^2) = √10
==> | 10t - 10 | = 10
==> 10t - 10 = 10, 10t - 10 = -10
==> t = 2, t = 0
==> 圓心為 (5,2) 或 (-1, 0); 半徑 = √20
==> 圓方程式: (x-5)^2 + (y-2)^2 = 20 或 (x+1)^2 + y^2 = 20

2.
圓心在x+y=0上 ==> 所以圓心 (t, -t)
圓心到 切直線 x-2y=3 距離 = 圓心到 切點距離
==> | t + 2t - 3| / √ [1^2 +(-2)^2] = √[(t-5)^2 + (-t-1)^2
==> (3t-3)^2 = 5 [(t-5)^2 + (t+1)^2]
==> t^2 - 22t + 121 = 0
==> t = 11
==> 圓心 (11, -11); 半徑 = 30/√5
==> 圓方程式: (x-11)^2 + (y+11)^2 = 180

3.
圓與x軸切於點(3, 0) ==> 所以圓心 (3, y)
圓心到 切直線 4x-3y+12=0 距離 = 圓心到 切點距離
==> | 12 - 3y + 12| / √ [4^2 +(-3)^2] = y
==> | 24 - 3y | = 5y
==> 24 - 3y = 5y 或 24 - 3y = -5y
==> y = 3 或 y = -12
==> 圓心 (3, 3); 半徑 = 3 或 圓心 (3, -12); 半徑 = -12
==> 圓方程式: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 9 或 (x-3)^2 + (y+12)^2 = 144