《評論》 高中1年級數學問題1題10點

Question

這種截頭斷尾法我覺得怪怪的。截頭斷尾後，
所得的兩個二次多項式的各項係數不一定相等，而是成比例。
不然我仿照大雄君的作法豈不可能成為無解？
令f(x)=x3+ax2+2x+4，g(x)=2x3+x2+a2x+2
若其公因式為h(x)
則h(x) | 2f(x)-g(x)=(2a-1)x2+(4-a2)x+6
又h(x) | f(x)-2g(x)=-3x3+(a-2)x2+(2-2a2)x
=x[-3x2+(a-2)x+(2-2a2)]
比較係數，
2a-1=-3 → a=-1
4-a2=a-2 → a=2或-3
6=2-2a2 → a=(√2)i
交集不但是空集合，甚至a還變成虛數！！
我認為比較合宜的方法是
(2a-1)/(-3)=(4-a2)/(a-2)=6/(2-2a2)
利用(2a-1)/(-3)=(4-a2)/(a-2)，得到a2+5a-14=0
(a+7)(a-2)=0
若a=-7，代回去，(-15)/(-3)=(-45)/(-9)≠6/(-96)，所以不合；
所以a=2。(不過這樣做還是有點毛病，讀者看得出來嗎？)

Answer 1

你以為我沒發現嗎？:)所以我才說「不過這樣做還是有點毛病，讀者看得出來嗎？」
正確的做法是
若a-2=0，則a=2，代回原先的兩個多項式，是一解；
若2-2a^2=0，則a=正負1，代回原先的兩個多項式，不是解。

設a不等於2且a不等於正負1(這樣就排除分母為0的可能性)，
再進行下面連比解方程式的動作，
得到a=-7(不合比例)或a=2(與假設矛盾)
所以當a不等於2且a不等於正負1時，是完全無解的。
所以唯一一解，就是a=2。

2006-12-24 10:45:05 補充：
至於需不需要檢驗分子為0的可能性呢？
我覺得是不需要的，因為若某項分子為0，則該項的分母也須為0，
如此兩個多項式才會相同。反之既然預設分母皆不為0，則分子亦無0的可能性。

我不想寫這麼嚴謹，
一來不希望太多字數偏離了我想強調的重點──「係數未必相等，而是成比例」，
二來出題者未必總是這樣整人，出一個有係數0的項次的公因式。

再說我也自承這樣做是有毛病的了。

Answer 2

1. 你算的結果, a=2 也不能確定是解. 因為分母分子都為零. ( 這也是為何會得到 a = -7 這不符合元方程式這解 的原因 )

2. 兩個等號都要檢驗才對.

2006-12-25 01:28:13 補充：
I knew you know the answer. I just answered your question as a "reader". :p

2006-12-25 01:32:11 補充：
I also checked the numerator because there is no solution if only the denomerator is zero. ( Sorry...I cannot type in Chinese )

2006-12-25 05:22:59 補充：
But of course, for the equation A / B = C / D, it seems impossible to get a solution x such that A/B is finite while D = 0 but C is not zero. From this point of view, we are certain that C=0 if D=0.

Answer 3

啊啊啊啊啊!!
我最恨的科目就是這個(心中永遠的痛!!).....幫不上你的忙了= =
SORRY了!!!!!!!
哪天等我研究成功
一定回來教你