三角形關於重心的題目

Question

做任意一三角形的重心,再隨意做一條直線過其重心

這動作會將三角形劃分成兩個區域,求證此兩區域之面積差不超過原三角形的九分之一.

Answer 1

http://s121.photobucket.com/albums/o240/jliawtw/?action=view¤t=3732524515.jpg
請參照圖
AD, BH 為中線, G 為重心.
取 EF // BC
則 AE:AB = AF:AC = AG:AD = 2:3 (重心性質)
所以 △AEF:△ABC = 2^2:3^2 = 4:9
△AEF = (4/9)△ABC
四邊形BCFE = (5/9)△ABC
四邊形BCFE - △OEG = (1/9)△ABC

現在要證明
當直線從 EF 移動到 BH 時(G不動)
三角形面積漸增而至 △ABH
四邊形面積漸減而至 △CBH
假設 MN 是移動中的直線
取 EP // AC
則 △OEG 全等於 △NFG (∠E=∠F,∠OEG=∠NFG, EG=FG)
所以△AMN 比△AEF 多出了△EMO 的部分
MN 越靠近BH, 則△EMO 面積越大
最後終於等於△ABH
同時 四邊形也變成 △CBH
因為 BH 是中線
所以 △ABH = △CBH

結論: 當直線通過重心而平行一邊時
所分成的兩塊面積差為全部的 1/9. 是為最大.
中線所分成的兩塊面積相等. 是為最小.

Answer 2

To: Pablo Picasso.G (在知識評價中的那個發表)
我覺得一個人有兩種職業其實也不為過
只不過有兩種專長罷了
並沒有什麼矛盾...
而且JJ在這兩方面的回答確實也是可圈可點