請問一題國中數學...

Question

設n為正整數，且n+9，16n+9，27n+9都是完全平方數，則n=?

Answer 1

奧林匹克的數學，主要考你耐性和細心
你是國一的對吧....
我也是國一
你問的一堆題目出自奧林匹克數學競賽....
這題我想了3個小時，並用計算機...
設n,r,m,k為正整數
n+9=k2→n=(k+3)(k-3)
16n+9=m2→16n=(m+3)(m-3)→n=(m+3)(m-3)/16→n為16的倍數
27n+9=r2→27n=(r+3)(r-3)→n=(m+3)(m-3)/27→n為27的倍數
兵分兩路：
第一路：
從第三式得知，有下列幾種可能：
<1>r+3→27的倍數：r=24,51,78......l.(公差=27)
<2>r+3→9的倍數，r-3→3的倍數：r=6,15,24,33...(公差=9)
<3>r+3→3的倍數，r-3→9的倍數：r=3,12,21,30,39...(公差=9)
<4>r+3→27的倍數：r=3,30,57......(公差=27)
綜合<1>、<2>、<3>、<4>=r=3,6,12,15,24.....(公差=3,6)
第二路：
從第二式得知，有下列幾種可能：
<1>m+3→16的倍數，m=13,29,45...(公差=16)
<2>m+3→8的倍數，m-3→2的倍數，m=5,13,21,29,37.....(公差=8)
<3>m+3→4的倍數，m-3→4的倍數，m=無解
<4>m+3→2的倍數，m-3→8的倍數，m=3,11,19,27,35.....(公差=8)
<5>m-3→16的倍數，m=3,19,35....(公差=16)
綜合<1>、<2>、<3>、<4>、<5>=m=3,5,11,13,19,21.....(公差=2,6)
二路併一路：
把可能的m,r代入16n=(m+3)(m-3)、27n=(r+3)(r-3)
求n
(以下均用電子計算機)
m=3,5,11,13,19,21,27,29,35,37,43,45,51,53,59,61,67....
n=0,1,7,10,22,27,45,52,76,85,115,126,162,175,217,232,280...

r=3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87...
n=0,1,5,8,16,21,33,40,45,54,85,96,120,133,161,176,208,225,261,280...

n共同解：85,280....
將n共同解代入n+9=k2驗算：
85+9=93(不合，非完全平方數)
280+9=289(合)
所以，n=280

Answer 2

完全平方數就是2X2=4 3X3=9 4X4=16 5X5=25...36 49 64 81 100 121 144 169 225 289 738 256 441

上面那些都是我計算的

首先n+9會等於(我寫的) 9+n=4(n=-5)不可能 9+n=9(n=0)不可能 9+n=16有可能 9+n=25有可能 9+n=36(n=27)有可能 (以此類推 )

我計算後9+n=16.n不符 9+n=25.n不符 9+n=36.n符合

所以9+n=36.因此n=27

2006-12-17 17:19:02 補充：
n 9代入符合 再一續代入 16n 9 27n 9

2006-12-17 17:19:56 補充：
上面的補充"加"不知道為什麼不見了

Answer 3

n等於0
0+9......9.....3平方
0+9......9.....3平方
0+9......9.....3平方

2006-12-17 16:59:35 補充：
正整數喔 抱歉