高中教師甄試數學科問題

Question

設x為9位數，且其前1位可倍1整除，前2位可被2整除，前3位可被3整除，其他以此類推，且數字不重複出現，求x=?

解答有:783204165、381654729

Answer 1

先考慮沒有0 的情形

1+2+ ... + 9 = 45 =>此9位數一定是9的倍數

前五個數可被5整除 => ????5????

偶數位可被2,4,6,8整除 => ?e?e5e?e? (e: even 偶數)
剩下的均為奇數 => oeoe5eoeo (o: odd 奇數)

前4位可被4整除 => 三四位為4的倍數, 第四位可能為 2,4,6,8
但是第四位若為4或8, 則第三位必為偶數
=> oeo25eoeo 或 oeo65eoeo

前3位可被3整除, 前6位可被6整除, 第六位已為偶數 => 中間三位亦可被3整除
=> oeo258oeo 或 oeo654oeo

前8位可被8整除, 第六位已為偶數 => 七八位必為8的倍數
=> oeo25816o 或 oeo25896o 或 oeo65432o 或 oeo65472o
=> o4o25816o 或 o4o25896o 或 o8o65432o 或 o8o65472o

前3位可被3整除
o4o25816o (3,7,9) => 沒有數字可填一三位
o4o25896o (1,3,7) => 147258963 或 741258963
o8o65432o (1,7,9) => 189654327 或 981654327 或 789654321 或 987654321
o8o65472o (1,3,9) => 183654729 或 381654729 或 189654723 或 981654723
最後, 把這十個數試除以7 (用公式沒有比較方便) => 祇有 381654729

次考慮有0 的情形
那麼, 那一個數要被拿掉?
因為 0+1+2+ ... + 9 = 45
拿掉一個數後還要被9整除, 所以一定是拿掉9.

前五個數可被5整除 => ????5???? 或 ????0????

????0???? 的情形比較簡單 (因為 剩下的偶數必定在偶數位)
於是 仿照上法 可以得到一組答案 783204165

????5???? 的情形比較複雜 (因為 有一個偶數在奇數位)
"前4位可被4整除" 的條件就無法消去一半的組合
但是慢慢做 (還得小心做), 還是可以解出來.

為了保證沒有漏掉 (也為了偷懶), 我寫了一個程式去跑.
結果又得到兩個答案.
其中一個跟 381654729 有關.

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猜到了嗎?
381654720

另一個是 801654723
所以全部有四組: 381654729, 381654720, 783204165, 801654723