數學問題 真的不會@@餘式定理和因式定理

Question

1. f(x)=x^100+x^50+1，求除以根號2x-(1+i)除f(x)之餘式為?

2. 設a，b，c，d為不相等的四個整數，若f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-4，有x-3之因式，則a+b+c+d=?

3. 找出12x^4+8x^3+3x^2-x-2的所有整係數一次因式。
第三題的可能因式有很多，應該不可能是一個一個慢慢算吧，跪求更快的方法!!

Answer 1

1.根號2x-(1+i)=0 時, x=(1+i)/根號2
x^2=[(1+i)^2]/2=i
所以餘式為 i^50+i^25+1=i

2.f(3)=(3-a)(3-b)(3-c)(3-d)-4=0
(3-a)(3-b)(3-c)(3-d) = 4 ,因為a,b,c,d為相異整數,
所以3-a,3-b,3-c,3-d,為 4 的相異因數,其可能只有一種,1,-1,2,-2
==> a,b,c,d 為 2,4,1,5 四個數, a+b+c+d=12

3.這種題目好像只有用一次因式檢驗法把可能的因式一個一個代
入檢驗,當你檢驗出一個後,把它除掉,變成三次式後再繼續檢驗.
原多項式的可能一次因式有 x+1,x-1,x+2,x-2,2x+1,2x-2........
前面四個可以用餘式定理用代的,x代1,x代-1,x代2,x代-2,
結果都不行,後面的要用綜合除法比較方便,
這種題目它的答案一次因式的係數都不會太大,
所以其實不會檢驗很多個,應該不會花多少時間,
我檢驗的結果 2x-1和 3x+2是原式的一次因式,
最後剩一個 2x^2 + x +1 不能再分解了.
如果一定要找更快的方法,那就是剛好題目設計好,
可以分組分解,這題也可以分組,
12x^4+8x^3 一組, 3x^2-x-2 一組,這樣也可以分解.