請問一題國中數學...

Question

設x,y,z是三個不同的質數，且x(y+z)=124+z，則y=? x+z=?

Answer 1

題目：x(y+z)=124+z，x,y,z是三個不同的質數
1、若124+z 為偶數，z=2…唯一偶質數
→x(y+z)為偶數，但x(y+2)=奇*奇為奇數，
故124+z為奇數
2、若124+z 為奇數
→z為奇數
→x(y+z)為奇數：奇(奇+偶)=奇
∴y=2
x(z+2)=124+z
x=(z+124)/(z+2)
=122/(2+z) +1
= 2*61/ (2+z) +1
已知x為質數，必為整數，2*61/(2+z) 為整數
(1) 2+z= 2 ，z=0(不合)
(2) 2+z=61，z=59，得出x=3
故 y=2，
x+z= 3+59 = 62

Answer 2

1.
∵X,Y,Z為質數，加上質數中只有2是偶數
∴X,Y,Z其中兩者必為奇數，另外一者為偶數或奇數
分成以下狀況來說明:
(1) 當X為奇數，Y為奇數，Z為奇數時
X(Y+Z)則為偶數，124+Z為奇數
--->兩者不合
(2) 當X為奇數，Y為奇數，Z為偶數時
X(Y+Z)則為奇數，124+Z為偶數
--->兩者不合
(3) 當X為偶數，Y為奇數，Z為奇數時
X(Y+Z)則為偶數，124+Z為奇數
--->兩者不合
(4) 當X為奇數，Y為偶數，Z為奇數時
X(Y+Z)則為奇數，124+Z為奇數
--->兩者相等
-->所以Y為唯一的質數偶數 = 2…………(解答)

2.
X(2+Z)=124 +Z
2X+XZ=124+Z
(X-1)Z = 124-2X
∵X,Z皆為存在的實數
∴124-2X > 0 ---->X < 62
我們找出小於62的質數來作計算
(3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43)(取到43即可，因為再往上取，Z的值會小於1)
經代入計算後當X= 3時，Z=59符合題目所求
所以 X＋Z＝ 62 …………(解答)

Answer 3

先把 z分為奇數與偶數兩部分來討論

1.當 z 為偶數 因所有質數中唯一的偶數為2 故z=2
則原式=> x(y+2)=124+2=126
所以 x(y+2)其中必有其中一個為偶數
即 x=2 或 y=2
但因為 x y z 為三個不同的質數
故矛盾

2.當 z 為奇數 令 z=2k-1 (k為正整數)
則原式=> x(y+z)=124+ z =124+2k-1=123+2k為一奇數
所以 x(y+2k-1)必皆為奇數
即 x 為奇數 y+2k-1為奇數
即 y 為偶數 => y=2

=>x(z+2)-z=124
配方=>x(z+2)-(z+2)=124-2=122
=>(x-1)(z+2)=122
因為(x-1)為偶數 (z+2)為奇數
=>(x-1)(z+2)=122*1
=2*61
=>(x,z)=(3,59)或(123,-1)......不合
=>y=2,x+z=3+59=62

A: y=2 , x+z=62