高二數學 通過兩點求圓方程式 急需~!

Question

Q:一圓通過三點A(0,4) B(2,4) C(0,2)則此圓方程式為?
A:(x-5)^+(y+1)^=34


我的算法是: 先找AB中點M(1,0) 得MB向量(1,4) 再得MB方向向量 (-4,1) 令O(-4t+1,t)
OC=OB= r 故 (4t-1)^+(2-t)^=(-4t+1)^+(4-t)^
算出來 t=3 代入圓心後明顯的跟答案不合 請各位大大幫我找一下問題出在哪裡..謝謝

OA OB OC 不是都是 r 嗎 ? 為什麼?

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006121608232.GIF

先提醒你一下，你一開始就錯了，AB中點並非(1,0)，而是(1,4)。

這題三點剛好呈直角三角形(而且還是兩股分別平行x軸和y軸的
直角三角形)，所以有更簡捷的作法；但如果是任意三點，我覺
得我下面這個方法還可以用看看，雖然不快但也不算太複雜。
若座標平面上有兩點M(m1,m2)和N(n1,n2)，
則MN線段之中垂線方程式為
(m1-n1)x+(m2-n2)y=(m12+m22-n12-n22)/2
那麼，只要求得AC線段和BC線段的中垂線，
兩條中垂線交點即為圓心，圓心到A,B,C任何一點的距離是半徑，
圓方程式就得到了。
如圖，
AC線段中垂線方程式
(0-0)x+(4-2)y=(0+16-0-4)/2=6
→y=3
BC線段中垂線方程式
(2-0)x+(4-2)y=(4+16-0-4)/2=8
→x+y=4
y=3和x+y=4解聯立方程組得(x,y)=(1,3)
半徑=√[(1-0)2+(3-4)2]=√[(12+(-1)2]=√2
所以圓方程式為(x-1)2+(y-3)2=2

2006-12-17 13:58:37 補充：
為什麼字會擠在一起咧？

若座標平面上有兩點M(m1,m2)和N(n1,n2)，
易證得MN線段之中垂線方程式為
(m1-n1)x (m2-n2)y=[(m1)^2 (m2)^2-(n1)^2-(n2)^2]/2

2006-12-17 15:42:44 補充：
這下子是加號不見了，奇摩改版是怎樣了呢？

若座標平面上有兩點M(m1,m2)和N(n1,n2)，
易證得MN線段之中垂線方程式為
(m1-n1)x十(m2-n2)y=[(m1)^2十(m2)^2-(n1)^2-(n2)^2]/2

Answer 2

是外接圓的話 我的算法是 用判別是利用判別式ㄟ

X2+Y2+dX+eY+f=0
列方程式
02+42+0d+0e+f=0 (X Y 以 0 4 帶入) 4e+f=0 第1式
22+42+2d+4e+f=0 (X Y 以 2 4 帶入) = 2d+4e+f=0 第2式
02+22+0d+2e+f=0 (X Y 以 0 2 帶入) 2e+f=0 第3式
解聯立方程式:
由 1 -3 解出 e= -6
帶入 1 或 3 解出 f=8
e=-6 f=8 帶入第2式 解出 d 為 -2
所以 圓的方程式為 X2+Y2+-2X-6Y+8=0 圓心 (1 3) 半徑 R =2
抱歉 不能打上標 所以數字 後面有跟2的 那是平方
如果你還是看不懂的話 我在寄文件給你 希望有幫到你

Answer 3

假設圓心 O 座標為 (x,y)，則圓心到圓上任一點的距離皆為半徑 R
OA＝OB＝OC＝R
=> x^2+(y- 4)^2＝(x- 2)^2+(y- 4)^2＝x^2+(y- 2)^2＝R^2
任選兩邊即可求得圓心 x,y座標
＝> (x,y)＝(1,3)
圓的方程式為 (x- 1)^2+(y- 3)^2＝2
因為此三角形為直角三角形
故圓心為在斜邊上。

2006-12-16 19:54:54 補充：
Q:一圓通過三點A(0,4) B(2,4) C(0,2)則此圓方程式為?
A:(x-5)^ (y 1)^=34
若將A點(0,4)代入(x-5)^ (y 1)^=34
發現其值不等於34

Answer 4

我的算法是: 先找AB中點M(1,0) 得MB向量(1,4) 再得MB方向向量 (-4,1) 令O(-4t+1,t)
沒錯!
OC=OB= r 故 (4t-1)2+(2-t)2=(-4t+1)2+(4-t)2.錯!
應該令OA=OB才對!