2的次方數學證明題

Question

若n是正奇數，求證：

22n(22n+1-1)
的末兩位數是28

以及
對任何一組
m,n=整數

2m=12n

皆不成立
還有！
證明2X=0無解！

這個題目有20點喔！

啊.....我不會數學歸納法....

更正
m,n=正整數

我也不知道什麼是「對數」....

哇！變22點了！

Answer 1

既然討論正奇數，不妨把題目直接改為
證明2^(4n+2)*[2^(4n+3)-1]≡28(100)。
我們知道對於任意非負整數n而言，2^(4n+2)的個位數恆為4，
因此若將之乘以10，10*2^(4n+2)的末兩位數必為40，
即10*2^(4n+2)≡40(mod 100)。
用數學歸納法，
n=0時，2^2(2^3-1)≡28(mod 100)成立
假設n=k時成立，
即2^(4k+2)*(2^(4k+3)-1)≡28(mod 100)
令2^(4k+2)=p，
上式變為p(2p-1)≡2p^2-p≡28(mod 100)
→2p^2≡p+28(mod 100)(兩邊同乘以6)
→12p^2≡6p+168(mod 100)
當n=k+1時，
2^(4k+6)*(2^(4k+7)-1)
≡16p(32p-1)
≡512p^2-16p
≡12p^2-16p
≡(6p+168)-16p
≡168-10p
≡168 - 40≡128≡28(mod 100)
故n=k+1時也成立，根據數學歸納法原理，原敘述恆真。
---吾乃分隔線---I am Fengershen---
很遺憾，題目是錯的，m-n=0時，2^0=12^0=1不就成立了？
我猜你的意思是m,n為正整數，
假設存在正整數m,n滿足2^m=12^n，則
2^m=12^n=3^n*4^n=3^n*2^(2n)
2^(m-2n)=3^n
等號成立在m-2n=n=0時，這與已知矛盾；

若m-2n<0，則分數=整數，這是不可能的；

若m-2n>0，
偶數的任意正整數次方仍為偶數，奇數的任意正整數次方仍為奇數，
2是偶數，故2^(m-2n)也是偶數，3是奇數，故3^n也是奇數，
偶數=奇數，這是不可能的。
故不存在這樣的正整數m,n滿足2^m=12^n。
---吾乃分隔線---I am Fengershen---
假設存在實數x使得2^x=0，則
(2^x)^2=0^2 → 2^(2x)=0 → 2^x=2^(2x) → (因為底數相同，且底數不為1和0)x=2x
→x=0 → 代回去，2^0=0，又2^0=1 → 故1=0，矛盾。
所以不存在任何實數x使得2^x=0。

2006-12-20 11:57:52 補充：
抱歉打錯了。
「m=n=0」時，2^0=12^0=1不就成立了？

Answer 2

1. 2^(2n) * (2^(2n+1)-1)
因為討論正奇數
所以可改成 n=2m-1, m = 1, 2, 3, ...
題目就換成
2^(2(2m-1)) * (2^(2(2m-1)+1)-1)
=>2^(4m-2) * (2^(4m-1) - 1), m = 1, 2, 3, ...
對 m 做歸納法
a) 當 m = 1 => 2^2 * (2^3-1) = 4*7 = 28 成立
b) 假設 m = k 時成立
也就是 2^(4k-2) * (2^(4k-1) - 1) = 100*p+28, p 是某自然數

m = k+1 =>
2^(4(k+1)-2) * (2^(4(k+1)-1) - 1)
=16*2^(4k-2) * (16*(2^(4k-1)) - 1)
=16*16*[2^(4k-2)][2^(4k-1)] - 16*2^(4k-2)
=15*16*[2^(4k-2)][2^(4k-1)] + 16*[2^(4k-2) * (2^(4k-1) - 1)]
=15*2^(8k+1) + 16*(100p+28)
=30*256^k + 1600p + 448
因為256^k的個位數永遠是6
所以256^k= 10*q+6, q 是某自然數
=>30*(10*q+6) + 1600p + 448
= 300*q+180+1600*p+448
= 300*q+1600*p+628
此數的末兩位數是28 #


2. 假設存在m, n使得 2^m=12^n
因為 3 | 12^n (3 可以整除 12^n)
所以 3 | 2^m
矛盾 (3 不能整除 2^m)
所以m, n不存在 #

3. 假設存在 x 使得 2^x = 0
取對數 2 為底 => log(2)(2^x) = log(2)0
=> x = log(2)0
按照定義而言 "當log的真數為時, 該值無意義. (或者說 等於負無限大)"
所以, 使 2^x = 0 的 x 不存在 #