高微”metric”証明

Question

M=R[n](R的n維)
Define d1(X,Y)=｜X1- Y1｜+...+｜Xn-Yn｜
d2(X,Y)={ (X1-Y1)平方 +...+ (Xn-Yn)平方 }開平方根
d3(X,Y)=max{｜X1- Y1｜+...+｜Xn-Yn｜}
where X=(X1,...,Xn) and Y=(Y1,...,Yn) in R[n]
show that d1 and d2 and d3 are metric.

謝謝詳述

謝謝你的詳述~
不好意思給你添麻煩了^^
下次我會把題目分開來~不好意思^^

有點看不懂d2的第4個性質~

Answer 1

假設 X = ( X1, ... ,Xn ), Y = ( Y1, ... , Yn ), Z = ( Z1, ... , Zn )
I. d1
(1) d1 (X,Y) >= 0. trivial.
(2) 若 d1(x,y)= 0. 所以 | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | = 0.
故 | X1 - Y1 | = ... = | Xn - Yn | = 0.
因此 X1 = Y1, .... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.
(3) d1( X, Y )= | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | = | Y1- X1 | + ... + | Yn - Xn | = d1( Y, X ) [ 絕對值裡面變號, 其值不變 ]
(4) d1( X, Y ) + d1( Y, Z )
= | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | + | Y1- Z1 | + ... + | Yn - Zn |
= ( | X1- Y1 | + | Y1- Z1 | ) + ... + ( | Xn - Yn | + | Yn - Zn | )
<= | X1 - Z1 | + ... + | Xn - Zn | [ 對於每個括弧內做三角不等式 ]
= d1( X, Z )

II. d2
(1) d2 (X,Y) >= 0. trivial.
(2) 若 d2(x,y)= 0. 所以 [ ( X1- Y1 )^2 + ... + ( Xn - Yn )^2 ]^(1/2) = 0.
故 ( X1 - Y1 )^2 = ... = ( Xn - Yn )^2 = 0.
因此 X1 = Y1, .... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.
(3) d2( X, Y )
= [ ( X1- Y1 )^2 + ... + ( Xn - Yn )^2 ]^(1/2) =
= [ ( Y1- X1 )^2 + ... + ( Yn - Xn )^2 ]^(1/2) [ 括號裡面變號, 平方後其值不變 ]
= d2( Y, X )
(4) 令 Pi = Xi - Yi, Qi = Yi - Zi, i = 1 到 n.
[ d2( X, Z ) ] ^ 2
= ( P1 + Q1 )^2 + ... + ( Pn + Qn )^2
= (P1)^2 + ... + (Pn)^2 + (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 + 2 * ( P1 *Q1 + ... + Pn * Qn )
利用哥西不等式, [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ] * [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] >= ( P1 *Q1 + ... + Pn * Qn ) ^2
所以上式
<= [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ]+ [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] + 2 * [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ] ^(1/2) * [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] ^(1/2)
= [ [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ]^(1/2) + [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ]^(1/2) ]^2
= [ d2( X, Y ) + d2( Y, Z ) ]^2
故 d2( X, Z ) <= d2( X, Y ) + d2( Y, Z ).

2006-12-15 21:49:33 補充：
. d3

(1) d3 ( X, Y ) >= 0. trivial.

(2) 若 d3( X, Y )= 0. 所以 max{ | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } = 0.

故 | X1 - Y1 | = ... = | Xn - Yn | = 0.

因此 X1 = Y1, ... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.

2006-12-15 21:50:06 補充：
(3) d3( X, Y )

= max{ | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | }

= max{ | Y1- X1 | , ... , | Yn - Xn | }

= d3( Y, X ) [ 絕對值裡面變號, 其值不變 ]

2006-12-15 21:50:29 補充：
(4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

= max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

>= max { ( | X1- Y1 | | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn | | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

2006-12-15 21:51:58 補充：
>= max { | X1 - Z1 | , ... , | Xn - Zn | } [ 對於每個括弧內做三角不等式 ]

= d3( X, Z )

詳細證明就超過字數了...
以後可以麻煩一下把問題拆開成三題, 不然要詳述很困難.

2006-12-15 21:59:00 補充：
如果你學過內積, 以R^n標準內積來看
|| x || = < x, x>^(1/2)
我們有 d2( x, y) = || x - y ||
然後我們可以簡單證明 || P || || Q || >= || P Q ||
令 P = x-y, Q = y-z 代入就是 d2 的三角不等式

2006-12-15 22:00:36 補充：
(4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

= max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

>= max { ( | X1- Y1 |＋ | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn |＋ | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

2006-12-15 22:01:04 補充：
(4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

= max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } ＋ max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

>= max { ( | X1- Y1 |＋ | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn |＋ | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

2006-12-15 22:01:29 補充：
如果你學過內積, 以R^n標準內積來看
|| x || = < x, x>^(1/2)
我們有 d2( x, y) = || x - y ||
然後我們可以簡單證明 || P ||＋ || Q || >= || P＋ Q ||
令 P = x-y, Q = y-z 代入就是 d2 的三角不等式

2006-12-15 22:07:47 補充：
max { 1, 2, 4 } = 4
max { 4 , 2 , 1 } = 4
max{ 1 ＋ 4 , 2 ＋ 2 , 4 ＋ 1 } = 5
故 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大.

2006-12-16 20:39:19 補充：
你看不懂的部份就是哥西不等式, 你可以試試看
看不懂可以寫信給我.

Answer 2

謝謝你...我已經了解了^^