一題微積分的反函數

Question

f(x) 是 g(x)=x^3+x+1 的反函數 求 ∫f(x)dx積分區間 [1,3]
對這題毫無頭緒 請各位幫幫忙 謝謝

請問
"積分 (y=1 到 y=3) f(y) 積分 (x=0 到 x=1) g(x)

= 長方形 [ 0, 1 ] x [ 0, 3 ] 的面積

= 3"
這裡看不懂 能說明一下為什麼嗎 謝謝

Answer 1

g'(x) = 3x^2 + 1 > 0 所以g為遞增. 故反函數存在.
且 g(0)=1, g(1)=3
很明顯的(你可以畫圖看)
積分 (y=1 到 y=3) f(y) + 積分 (x=0 到 x=1) g(x)
= 長方形 [ 0, 1 ] x [ 0, 3 ] 的面積
= 3
又 積分 (x=0 到 x=1) g(x) = 7 / 4
所以 積分 (y=1 到 y=3) f(y) = 5 / 4


2006-12-15 02:45:37 補充：
你可以大概畫一下這個圖形.
g(x)是一條從(0,1)到(1,3)的曲線.
如果是積分 g(x) dx, x從0到1, 就是計算 g(x)以下與x軸所夾區域.
如果是積分 f(y) dy, y從1到3, 就是計算 f(y)以下與y軸所夾區域.
兩塊區域拼起來, 不就是 x從0到1, y從0到3這個長方形.

2006-12-15 02:49:34 補充：
這樣說或許比較容易看
如果是積分 f(y) dy, y從1到3, 就是計算 f(y)以"左"與y軸所夾區域.
你畫的直角座標系, 左邊相當於 y座標的下面.