試證：直線方程式中的兩種形式─斜截式與截距式

Question

(1)若直線方程式的斜率為m，y截距為b，則L：y=mx+b。


(2)若直線方程式的x截距為a，y截距為b，且ab不等於0，則x/a+y/b=1

Answer 1

先證明(1),然後(2)的證明要用到(1)的結果
(1),假設此直線方程式通過(x1,y1),(x2,y2)兩點,則此直線方程式=
y-y1=[(y2-y1)/(x2-x1)](x-x1)-------(*),其中斜率m=[(y2-y1)/(x2-x1)]
(*)可展開成:y=y1+mx-mx1----(**),又此方程式與y截距為b
=>b=y1+mx1
=>y1=b-mx1代入(**)
y=b-mx1+mx-mx1=mx+b得證
(2)令此直線方程式過(x1,y1),(x2,y2)兩點,y-y1=m(x-x1)
其中斜率m=[(y2-y1)]/(x2-x1)
又與x截距為a,y截距b
=>-y1=ma-mx1
b-y1=-mx1
兩式相減:b=-ma,m=(-b/a),又與y截距為b,故利用(1)結果:
方程式L:y=(-b/a)x+b
=>ay+bx=ab,ab≠0,同除以ab:
=>x/a+y/b=1

2006-12-13 23:46:57 補充：
有一行應該是:b=y1-mx1
=>y1=b mx1

2006-12-16 19:08:47 補充：
如果要寫正式的證明的話,圖形只能當作是說明

Answer 2

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1606121311558.GIF

原理都是類似的，因為兩點決定一條直線，
如果我們找到直線上的兩點座標，代入某方程式都符合的話，
則該方程式就是這通過這兩點的直線的方程式。
如圖一，
若m=0，顯然該直線方程式就是y=b，符合題目敘述。
若m≠0，
y截距為b，表示(0,b)這一點在這條直線上，
設x截距為a，則(a,0)這一點也在這條直線上，
(0,b)和(a,0)的斜率=m
→ -b/a=m → a=-b/m
將(0,b)代入y=mx+b，0*x+b=b，符合；
將(-b/m,0)代入y=mx+b，m*(-b/m)+b=-b+b=0，符合。
所以斜率為m，y截距為b的直線的方程式就是y=mx+b
如圖二，
x截距為a，則(a,0)這一點在這條直線上，
y截距為b，則(0,b)這一點也在這條直線上，
將(a,0)代入x/a+y/b=1 ，a/a+0/b=1+0=1，符合；
將(0,b)代入x/a+y/b=1 ，0/a+b/b=0+1=1，符合。
所以x截距為a，y截距為b，且ab不等於0的直線的方程式就是x/a+y/b=1