證明(關於平行四邊形)

Question

證明已(2,3)，(4,1)，(8,2)與(6,4)為頂點的四邊形是一個平行四邊形

向量是什麼阿??

Answer 1

令 A=(2,3)，B=(4,1)，C=(8,2)與D=(6,4)
又
AC的中點座標( (2+8)/2, (3+2)/2 ) = ( 5, 5/2 )
BD的中點座標( (4+6)/2, (1+4)/2 ) = ( 5, 5/2 )
故對角線AC與BD互相平分, 四邊形ABCD為平行四邊形.

2006-12-14 00:11:48 補充：
很明顯的ABCD四點並不共線, 只需驗證中點就夠了.

Answer 2

Let A(2,3), B(4,1), C(8,2), D(6,4), then
向量 AB=(4-2,1-3)=(2,-2)
向量 DC=(8-6,2-4)=(2,-2)
We see 向量 AB=向量 DC
So 四邊形是一個平行四邊形

Answer 3

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006121311286.GIF

如圖，
(6,4)與(2,3)的斜率=(4-3)/(6-2)=1/4，其直線方程式為x-4y=-10
(8,2)與(4,1)的斜率=(2-1)/(8-4)=1/4，其直線方程式為x-4y=0
其斜率相同，但方程式不同，這是兩條平行線(不重疊)。
同理，
(2,3)與(4,1)的斜率=(3-1)/(2-4)=-2/2=-1，其直線方程式為x+y=5
(6,4)與(8,2)的斜率=(4-2)/(6-8)=-2/2=-1，其直線方程式為x+y=10
其斜率相同，但方程式不同，這是兩條平行線(不重疊)。
因為這個四邊形是由兩對斜率不同的平行線所構成，
(如果四條的斜率都相同的話，就不能構成四邊形了)
所以是一個平行四邊形。