已知兩點與兩線長求交點

Question

已知AB線段為K，BC線段為M，兩線段交於B點
也知A點座標為(Xa,Ya)、C點座標為(Xc,Yc)，
且A點不等於C點，求B點座標(Xb,Yb)?
可列出聯立方程式：
√[(Xa-Xb)^2+(Ya-Yb)^2]=K
√[(Xc-Xb)^2+(Yc-Yb)^2]=m
請問最後如何導出Xb=?Yb=?
請各位大大幫幫忙~感謝

√是根號√
感謝yen_hao_chen的回答
若只解出一式包含Yb我是解的出來也知道在帶回去即可求得，
但帶到後面會有根號無法分解的問題，
所以想看是否有其他解法或方程式可以不用這樣列??

Answer 1

用幾何來考慮這個問題
B ( Xb , Yb ) 就是下面兩個條件的解
(1)以A為圓心，半徑為K的圓
(2)以B為圓心，半徑為M的圓

所以可以列一個二元二次方程祖
( X - Xa ) ^ 2 + ( Y - Ya ) ^ 2 = K ^ 2 ---(*)
( X - Xc ) ^ 2 + ( Y - Yc ) ^ 2 = M ^ 2 --- (**)

那麼B就會在這兩個圓的根軸上面
(如果B不是兩圓的切點或者沒有解，就會有兩個)

(*) - (**)==>
L : 2X ( Xa - Xc ) + 2Y ( Ya - Yc ) = K ^ 2 + M ^ 2 - ( Xa ^ 2 + Xc ^ 2 ) + ( Ya ^ 2 + Yc ^ 2 )

有了這個式子，其餘的就好辦多了(可以有很多方法)

想法:找出A投影在L的投影點，再用距離與斜率的方式找到B

先利用投影點公式找到投影點
X' = Xa - 2( Xa - Xc ) * t
Y' = Ya - 2( Ya - Yc ) * t
其中 t 比較麻煩，就跟下面 D 差不多，只是分母沒有根號

D(A,L) = | 2Xa ( Xa - Xc ) + 2Ya ( Ya - Yc ) - K ^ 2 - M ^ 2 + ( Xa ^ 2 + Xc ^ 2 ) - ( Ya ^ 2 + Yc ^ 2 ) | / 根號 [ ( Xa - Xc )^2 + ( Ya - Yc )^2 ]
化簡之後
D = | 3Xa^2 - 2XaXc + Xc^2 + Ya^2 - 2YaYc -Yc^2 | / 根號 [ ( Xa - Xc )^2 + ( Ya - Yc )^2 ]
這代表A與L的垂直距離
再用K^2 - D^2得到AB與L的交點到B的距離D'^2 (A,投影點,B是直角三角形)
D'分子=
根號{[(Xa-Xc)^2 + (Ya-Yc)^2 ]K^2 - |3Xa^2 - 2XaXc + Xc^2 + Ya^2 - 2YaYc -Yc^2|^2}
D'的分母=
根號 [ ( Xa - Xc )^2 + ( Ya - Yc )^2 ]
因為L的斜率(m)是 - ( Xa - Xc ) / ( Ya - Yc )

補充一下: D' 是投影點到B的距離，斜率(m)是投影點到B的斜率
這裡可以設一個方程式
(A是X位移，B是Y位移)
A ^ 2 + B ^ 2 = D' ^ 2
A / B = m

B = D' / 根號 ( 1 + m ^ 2 )
A = D'm / 根號 ( 1 + m ^ 2 )

所以B點的座標解出來了
Bx = X' +- A
By = Y' +- B
上面的式子比須同時帶+或同時帶-

寫了這麼多，其實只要抓住思考的方向即可(中間計算不太重要)
值得注意的是，雖然有根號出現，但沒有雙重根號的出現
也希望你看的懂

Answer 2

僅列出主要步驟:

(Xa-Xb)^2+(Ya-Yb)^2=K^2 --- (1)
(Xc-Xb)^2+(Yc-Yb)^2=M^2 --- (2)

(2)-(1) 得:
2(Xa-Xc)Xb+2(Ya-Yc)Yb=M^2-K^2+Xa^2-Xc^2
Xb=[M^2-K^2+Xa^2-Xc^2-2(Ya-Yc)Yb]/[2(Xa-Xc)] ---(3)
(3) 帶入 (1) or (2)
可得一一元二次方程式 AYb^2+BYb+C=0. 可解得Yb, 再帶入(3)可得 Xb