數學-拋物線之圓的圓心軌跡方程式

Question

題目 =>求與圓C:x平方+y平方-8x+6y=0外切且與直線L:x+2=0相切的一切圓的圓心軌跡方程式



老實說，我只知道把圓C先用分配法求出R=5
可是接下來就不知道要怎麼辦了
我實在是看不懂題目~"~

希望各為大大幫幫忙>"<


(如果可以的話，希望能用圖解法)

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1006121112741.GIF

如圖，黃色的圓是圓C，藍色的直線是L，
黑色的拋物線就是題目所求的軌跡，
無限多個如圖中的紅圓，與黃圓外切，且與藍線相切，
這些紅圓的圓心掃出來的軌跡就是黑色拋物線。

圓C:x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(y+3)2=52
圓心座標(4,-3)，半徑為5
設這些圓的圓心座標為(x,y)，這些圓與圓C外切且與直線L相切，
則每一個符合條件的圓的半徑
=(x,y)到L的距離
=(x,y)與圓C的圓心的距離減去圓C的半徑
(觀察示意圖會比較明白)
即每一個符合條件的圓的半徑
=(x,y)到L的距離
=(x,y)與(4,-3)的距離減掉5
即x+2=√[(x-4)2+(y+3)2]-5(左式不加絕對值是因為(x,y)恆在直線L的右側)
x+7=√[(x-4)2+(y+3)2](等號兩邊平方)
x2+14x+49=x2-8x+16+y2+6y+9
移項化簡得22x=y2+6y-24，它是一條拋物線。

Answer 2

因為圓C：x2 + y2 - 8x + 6y = 0
→(x - 4)2+(y + 3)2 = 52
所以圓心在(4,-3)
令與圓C及直線L相切的切圓圓心為(x,y)
因為圓與C及L相切
→(x,y)到(4,-3)的距離減掉5 = (x,y)到L的距離
→√[(x-4)2+(y+3)2] - 5 = x + 2
→(x-4)2+(y+3)2 = (x+7)2
→x2 - 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = x2 + 14x + 49
→22x = y2 + 6y - 24