柯西－尤拉方程式

Question

知識頁：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1406011217764

在這求解過程中，我的特解不是使用未定係數法求得，但是我算出來的解與 最佳解答 差個負號！
而我覺得我的解法應該沒有錯，所以想知道是否也有哪位大大的結果與我相同，或是我真的有錯誤的觀念???
我不知道該如何把我的計算過程po上來，是否也有大大可以教一下!
因為直接打上來的式子並不標準!!!

我剛剛重算了一次...........
我之前有算錯一小部分，訂正後卻發現我的特解不是cos2|x|而是sin2|x|，我想知道問題出在哪??????

那就麻煩大大將"逆運算子法"po上來囉~!!謝謝!!

龍昊大師您好：
對於上次我發問的題目，我有些地方不懂！

φ2 =∫( y1Q／W )dx
↑↑↑↑
此式的分部積分我做不出來，能否再次有勞您為我詳解！
[因為怕PO在原處您看不到，所以到這PO]

龍昊大師您好：
很抱歉，我沒表達清楚！

我是想問以下網頁φ2 =∫( y1Q／W )dx的過程

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1506121000571

因為怕PO在原處您看不到，所以到這PO

真的很抱歉喔~害您重做一次>///<

Answer 1

　　版主您好，我再詳細算一次，但這次我用參數變異法 ( variation of parameters ) 來算。
*
Problem：Solve x2y'' + xy' + 4y = cos 2 ln│x│
sol：
　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) + m + 4 = 0
　　→ m2 + 4 = 0 ～ auxiliary equation
　　→ m = 2 i ～ complex conjugate roots
　　→ yh = c1 cos 2 ln│x│+ c2 sin 2 ln│x│～ homogeneous solution
　　原式化為：y'' + ( 1／x ) y' + ( 4／x2 ) y = ( 1／x2 ) cos 2 ln│x│
　　令：yp = φ1y1 + φ2y2 = φ1 cos 2 ln│x│+ φ2 sin 2 ln│x│
　　　　Q = ( 1／x2 ) cos 2 ln│x│
　　W =│　　cos 2 ln│x│　　　　sin 2 ln│x│　　│
　　　 │- ( 2／x )sin 2 ln│x│　( 2／x ) cos 2 ln│x││
　　　 = ( 2／x ) cos2 2 ln│x│+ ( 2／x ) sin2 2 ln│x│
　　　 = ( 2／x )( cos2 2 ln│x│+ sin2 2 ln│x│)
　　　 = ( 2／x )
　　φ1 =∫( - y2Q／W )dx
　　　 = - ( 1／2 )∫( sin 2 ln│x│cos 2 ln│x│)d( ln│x│)
　　　 = - ( 1／4 )∫sin 4 ln│x│d( ln│x│)
　　　 = ( 1／16 ) cos 4 ln│x│
　　φ2 =∫( y1Q／W )dx
　　　 = ( 1／2 )∫( cos 2 ln│x│cos 2 ln│x│)d( ln│x│)
　　　 = ( 1／4 )∫( 1 + cos 4 ln│x│)d( ln│x│)
　　　 = ( 1／4 )[ ln│x│+ ( 1／4 ) sin 4 ln│x│]
　　　 = ( 1／4 ) ln│x│+ ( 1／16 ) sin 4 ln│x│
　　yp = φ1 cos 2 ln│x│+ φ2 sin 2 ln│x│
　　　 = ( 1／16 ) cos 4 ln│x│cos 2 ln│x│
　　　　+ [ ( 1／4 ) ln│x│+ ( 1／16 ) sin 4 ln│x│] sin 2 ln│x│
　　　 = ( 1／4 ) ln│x│sin 2 ln│x│
　　　　+ ( 1／16 )( cos 4 ln│x│cos 2 ln│x│+ sin 4 ln│x│sin 2 ln│x│)
　　　 = ( 1／4 ) ln│x│sin 2 ln│x│+ ( 1／16 ) cos 2 ln│x│
　　其中，( 1／16 ) cos 2 ln│x│與 c1 cos 2 ln│x│是同型項，故可剔除。
　　→ yp = ( 1／4 ) ln│x│sin 2 ln│x│～ particular solution
　　general solution：y = yh + yp
　　→ y = c1 cos 2 ln│x│+ c2 sin 2 ln│x│+ ( 1／4 ) ln│x│sin 2 ln│x│#


2006-12-11 15:55:28 補充：
φ2 =∫( y1Q／W )dx = ( 1／2 )∫[ ( 1／x ) cos 2 ln│x│cos 2 ln│x│]dx

　　又：( 1／x )dx = d( ln│x│)

→ φ2 =∫[ cos 2 ln│x│cos 2 ln│x│] d( ln│x│)

　　然後：cos 2 ln│x│cos 2 ln│x│= ( cos 2 ln│x│)^2

　　依據倍角公式：( cos θ)^2 = ( 1／2 )( 1 cos 2θ)

→ ( cos 2 ln│x│)^2 = ( 1／2 )( 1 cos 4 ln│x│)

2006-12-11 15:57:08 補充：
　　所以積分變為↓

( 1／4 )∫( 1 cos 4 ln│x│)d( ln│x│)

　　就變簡單積分了！了解嗎？

2006-12-12 20:17:31 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106112501594

　　這題是類似題，我步驟有寫比較詳細，知識 改版後，就算我打不到 2000 字，他還是會說我超過字數限制，所以我回答您的問題時有省略一些步驟；您先看我解過的類似題，看不懂再跟我說吧！

Answer 2

x^2y''＋xy'＋4y＝cos[2ln(x)]z=lnx

沒錯事sin2|x|

dy2/d2z+4dy/dz=cos2z

使用逆運算子法

yp=cos2z/D2+4

yp=zsin2z/4

帶回來z=lnx

yp= (ln│x│sin 2ln│x│)／4






2006-12-11 06:30:01 補充：
我只特解給你看

如果你不懂逆運算子法的話

我就再交你吧

這可以直接求出答案

不用假設Acos之類的東西

2006-12-11 20:47:45 補充：
cos2z/(D^2 4)

D^2=-4

分母=0

cosbx=(x/2b) sinbx

所以:zsin2z/4

IF:sinbx=-(x/2b) cosbx