可積函數不等於零的集合為西格馬有限

Question

If f is integrable, then the set N(f)={x;f(x)不等於0} is sigma-finite.

Answer 1

假定 N(f) 不是 sigma-finite
假設 f ≧ 0. (一般形用 ∫f = (∫f^+ ) - (∫f^- ) )
令 E_0 = { f > 1 }, En = { 2^(n-1)≧ f > 2^n} n為自然數
則 ∪(n=0 to ∞) En = N(f) (這個證明很簡單,略過)
因為N(f) 不是 sigma-finite, 必然存在 m(Ej)= ∞
令 g(x)= Σ(i=0 to j) 2^(-j) χEi
則 g 是 simple function, 且 0≦g≦f.
又 ∫g = Σ(i=0 to j) 2^(-j) m(Ei) ≧ 2^j m(Ej) = ∞
根據定義 ∫f = sup {∫g : g is simple and 0≦g≦f } = ∞. 與 f 可積性矛盾.
故 N(f) 是 sigma-finite!